热力学习题详解

宇宙中的光子气体

习题 39 · 课程 7 — 数学结构：基本关系式

光子气体
辐射
宇宙微波背景
基本关系
绝热膨胀
齐次函数
零化学势

题目

在宇宙早期，物质是由原子核、电子和光子组成的高温等离子体。大约在 $T_{i} \approx 3000 K$ 时，最早的原子形成，光子变为自由光子。认为此时光子气体在温度 $T_{i}$ 下处于平衡，随后随着宇宙的膨胀经历可逆绝热膨胀。承认其基本关系为

S (U, V) = \frac{4}{3} a V^{1/4} U^{3/4},

其中 $a$ 是一个有量纲的正常数。熵不依赖于光子数 $N$ ：这个数目并不守恒。

回顾一次齐次函数的定义，并证明 $S$ 是这样的函数。
画出 $V$ 固定时 $S$ 随 $U$ 变化的大致曲线。这个函数是凹的吗？作出评论。
由 $S$ 的导数确定 $T$ 、 $P$ 和 $μ$ 。特别地，证明 $U = a^{4} V T^{4}$ 以及 $P = U / (3 V)$ ，再评论 $μ$ 的值。
写出这种气体的第一定律，并把它具体用于可逆绝热膨胀。由此推出沿这一过程 $U$ 与 $V$ 之间的关系。
由此推出在膨胀过程中 $V T^{3}$ 保持不变。
从用 $T$ 和 $V$ 表示的熵出发，直接重新得到这一结果。
今天观测到的光子气体温度为 $T_{f} \approx 3 K$ ：这就是宇宙微波背景辐射。自发射以来，宇宙的体积增大到了原来的多少倍？

提示

在熵表象下，

1/ T = (\partial S / \partial U)_{V}

、

P / T = (\partial S / \partial V)_{U}

、

μ / T = - (\partial S / \partial N)_{U, V}

。对于问题 4，可逆绝热过程满足

d S = 0

，因此

d U = - P d V

：分离变量。

详细解答

解答

问题 1。如果对任意

λ > 0

都有

f (λ x, λ y) = λ f (x, y)

，则多元函数

f

是一次齐次的。这里，

S (λ U, λV) = \frac{4}{3} a (λV)^{1/4} (λ U)^{3/4} = \frac{4}{3} a λ^{1/4 + 3/4} V^{1/4} U^{3/4} = λ S (U, V) .

因此光子气体的熵是广延的。

问题 2。在

V

固定时，

S

正比于

U^{3/4}

。其一阶导数

(\frac{\partial S}{\partial U})_{V} = a V^{1/4} U^{- 1/4} > 0

为正： $S$ 随 $U$ 增大，温度为正。其二阶导数

(\frac{\partial ^{2} S}{\partial U ^{2}})_{V} = - \frac{a}{4} V^{1/4} U^{- 5/4} < 0

为负： $S$ 是 $U$ 的凹函数。曲线从原点出发，切线竖直，随后逐渐弯曲，始终位于其弦的上方。这种凹性反映了光子气体平衡的稳定性。

问题 3。由问题 2，

\frac{1}{T} = a (\frac{V}{U})^{1/4} ⟹ (\frac{U}{V})^{1/4} = a T ⟹ U = a^{4} V T^{4} .

在 $U$ 固定时对 $V$ 的导数为

\frac{P}{T} = (\frac{\partial S}{\partial V})_{U} = \frac{4}{3} a \cdot \frac{1}{4} V^{- 3/4} U^{3/4} = \frac{a}{3} (\frac{U}{V})^{3/4} .

又因 $(U / V)^{3/4} = ((U / V)^{1/4})^{3} = a^{3} T^{3}$ ，所以

P = T \cdot \frac{a}{3} \cdot a^{3} T^{3} = \frac{a ^{4} T ^{4}}{3} = \frac{U}{3 V} .

最后， $S$ 不依赖于 $N$ ，因此 $μ = - T (\partial S / \partial N)_{U, V} = 0$ 。光子的化学势为零：由于光子数不守恒，它在平衡时自由调节，增加一个光子不需要任何代价。

问题 4。由于

μ d N

项为零，微分形式的基本关系写成

d U = T d S - P d V

。对于可逆绝热膨胀，

d S = 0

，因此利用

P = U / (3 V)

，

d U = - P d V = - \frac{U}{3 V} d V ⟹ \frac{d U}{U} = - \frac{1}{3} \frac{d V}{V} .

在初态与膨胀过程中的任一状态之间积分，得 $ln (U / U_{i}) = - \frac{1}{3} ln (V / V_{i})$ ，即

U V^{1/3} = const .

问题 5。用 $a^{4} V T^{4}$ 代替 $U$ ：

a^{4} V T^{4} \cdot V^{1/3} = a^{4} V^{4/3} T^{4} = const .

由于 $a$ 为常数， $V^{4/3} T^{4} = (V^{1/3} T)^{4}$ 为常数，因此 $V^{1/3} T$ 也是常数；取立方，得 $V T^{3} = const$ 。

问题 6。用

a^{4} V T^{4}

代替

U

，把

S

表示为

T

和

V

的函数：

S = \frac{4}{3} a V^{1/4} (a^{4} V T^{4})^{3/4} = \frac{4}{3} a V^{1/4} a^{3} V^{3/4} T^{3} = \frac{4}{3} a^{4} V T^{3} .

可逆绝热膨胀是等熵的： $S$ 为常数，因此 $V T^{3}$ 也是常数。这样便直接重新得到了问题 5 的结果。

问题 7。由于

V T^{3}

守恒，

\frac{V _{f}}{V _{i}} = (\frac{T _{i}}{T _{f}})^{3} = (\frac{3000}{3})^{3} = (1 0^{3})^{3} = 1 0^{9} .

自发射以来，宇宙的体积增大到原来的十亿倍，相当于距离增大到原来的 $1 0^{3}$ 倍。在约 $3000 K$ 时发射的辐射经膨胀冷却，就是今天测得温度为 $2, 7 K$ 的宇宙微波背景辐射。