热力学习题详解

约束下的平衡还是定常态？

习题 6 · 课程 3 — 基本概念

题目

考虑以下三种理想化情形，忽略重力。

两种气体各自处于内部平衡，被封闭在一个孤立的容器中。一块刚性、绝热且不可渗透的隔板将它们隔开。它们的温度 $T_{1}, T_{2}$ 和压强 $P_{1}, P_{2}$ 各不相同。
一根金属棒的两端分别与温度为 $T_{H} > T_{C}$ 的两个热库接触，其侧面做了绝热处理。棒中的温度分布已不再随时间变化，但仍有非零的热功率持续通过棒。
一个水箱以相同的恒定质量流量进水和排水。其水位、温度以及各点观察到的流动都已不再随时间变化。

为每种情形画出示意图，划定所研究系统的边界，并标出穿过边界的各种交换。
对每种情形进行分类：是在所施加约束下的热力学平衡，还是非平衡定常态？请根据通量进行论证，而不能仅凭不存在随时间的演化。
在第一种情形中，使隔板变为透热的，同时保持其刚性和不可渗透性。此时可能发生什么演化？最终平衡时必须满足什么等式？压强是否必然变得相等？
反之，保持隔板绝热且不可渗透，但把它换成一个无摩擦、不受外力的可动活塞，活塞起初静止。是什么差异引发了活塞的运动？若最终达到静止状态，力学平衡要求什么等式成立？

提示

约束可以维持温度差或压强差，而不允许任何通量。流入通量等于流出通量也能使各个量保持恒定，但这并不是平衡。

解答

问题 1。对于两种气体，把整个容器圈为系统：没有任何交换穿过其外边界，也没有任何传递穿过隔板。在隔板两侧分别标注

(T_{1}, P_{1})

和

(T_{2}, P_{2})

。若只取金属棒为系统，表示热传递的箭头从热端进入、从冷端离开。对于由水箱界定的控制体，一个物质箭头从进水口进入，另一个从排水口离开；这些物质同时也携带能量。问题 2。两种气体在所施加的约束下处于平衡。隔板禁止热交换、力学位移和物质交换。因此，差值

T_{1} - T_{2}

和

P_{1} - P_{2}

不会引起任何被允许的演化。金属棒处于定常态，但不处于平衡：热能持续不断地穿过它。每一点的温度不随时间变化，既不意味着温度在空间上均匀，也不意味着不存在通量。水箱同样处于非平衡定常态。若用

\overset{m}{˙}_{in}

和

\overset{m}{˙}_{out}

表示取正值的质量流量，则质量衡算给出

\frac{d m}{d t} = \overset{m}{˙}_{in} - \overset{m}{˙}_{out} = 0.

箱内质量保持恒定，但两个流量都不为零。水在不断更新：所选系统是开系。

问题 3。撤除热隔离后，热量便可以从热气体传向冷气体。最终平衡时，

T_{1, f} = T_{2, f}

。由于隔板仍是刚性的，它可以承受压强差：没有任何条件要求

P_{1, f} = P_{2, f}

。例如，对于两种理想气体，比值

n_{1} / V_{1}

与

n_{2} / V_{2}

可以不同，因此压强

n_{1} R T_{f} / V_{1}

与

n_{2} R T_{f} / V_{2}

也可以不同。问题 4。设活塞截面积为

A

，以从 1 指向 2 为正方向，压强力的合力为

F = A (P_{1} - P_{2})

。它起初不为零，使活塞运动起来。在静止的终态中，

F = 0

要求

P_{1, f} = P_{2, f}

。绝热性并不要求温度相等。这里，静止终态的存在是有条件的：仅凭受力分析无法描述可能出现的振荡如何衰减。