卡诺循环：各分支的能量与熵

第1问。 图中 $AB$ 和 $CD$ 为绝热过程，$BC$ 在高温等温线上，$DA$ 在低温等温线上。循环沿顺时针方向进行。在绝热过程 $AB$ 上，由泊松关系得

$$T_{\mathrm{C}}V_A^{\gamma-1}=T_{\mathrm{H}}V_B^{\gamma-1},\qquad \left(\frac{V_A}{V_B}\right)^{\gamma-1}=\frac{T_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{C}}}.$$

取 $1/(\gamma-1)$ 次幂，并令 $b=(T_{\mathrm{H}}/T_{\mathrm{C}})^{1/(\gamma-1)}$，得到 $V_A=bV_B$。同理，在 $CD$ 上，

$$T_{\mathrm{H}}V_C^{\gamma-1}=T_{\mathrm{C}}V_D^{\gamma-1} \quad\Longrightarrow\quad V_D=bV_C=brV_B.$$

因此 $V_D/V_A=(brV_B)/(bV_B)=r$：两段等温过程的体积比相同，但进行方向相反。

第2问。 每段可逆绝热过程均有 $\delta Q_{\mathrm{rev}}=0$ 和 $\mathrm dS=\delta Q_{\mathrm{rev}}/T=0$：

$$Q_{AB}=Q_{CD}=0,\qquad \Delta S_{AB}=\Delta S_{CD}=0.$$

理想气体的等温过程中，$\mathrm dU=0$，所以 $\delta Q_{\mathrm{rev}}=P\,\mathrm dV=nRT\,\mathrm dV/V$。对于高温膨胀，

$$\begin{aligned} Q_{BC}&=nRT_{\mathrm{H}}\int_{V_B}^{rV_B}\frac{\mathrm dV}{V} =nRT_{\mathrm{H}}[\ln V]_{V_B}^{rV_B}=nRT_{\mathrm{H}}\ln r>0,\\ \Delta S_{BC}&=\frac{Q_{BC}}{T_{\mathrm{H}}}=nR\ln r. \end{aligned}$$

对于低温压缩，$V_A/V_D=1/r$：

$$\begin{aligned} Q_{DA}&=nRT_{\mathrm{C}}\int_{V_D}^{V_A}\frac{\mathrm dV}{V} =nRT_{\mathrm{C}}[\ln V]_{V_D}^{V_A}\\ &=nRT_{\mathrm{C}}\ln\frac{V_A}{V_D}=-nRT_{\mathrm{C}}\ln r<0,\\ \Delta S_{DA}&=\frac{Q_{DA}}{T_{\mathrm{C}}}=-nR\ln r. \end{aligned}$$

在 $(S,T)$ 图中，$AB$ 和 $CD$ 上熵不变，因此这两条分支竖直。等温分支 $BC$ 和 $DA$ 水平。选择 $S_A$ 作为相对原点，各点坐标为

$$\begin{aligned} \begin{array}{c|cc} \text{状态}&S-S_A&T\\ \hline A&0&T_{\mathrm{C}}\\ B&0&T_{\mathrm{H}}\\ C&nR\ln r&T_{\mathrm{H}}\\ D&nR\ln r&T_{\mathrm{C}} \end{array} \end{aligned}$$

得到一个顺时针矩形，宽为 $nR\ln r$，高为 $T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}$。

第3问。 一个循环中 $\Delta U=0$。将接受的能量取正，第一定律给出

$$W=-(Q_{AB}+Q_{BC}+Q_{CD}+Q_{DA}) =-nR(T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}})\ln r<0.$$

输出的功为 $-W>0$，从高温热库吸收的热量为 $Q_{BC}>0$。因此效率为

$$\eta=\frac{-W}{Q_{BC}} =\frac{nR(T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}})\ln r}{nRT_{\mathrm{H}}\ln r} =\frac{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}=1-\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}.$$

每个热库吸收的热量与其传给气体的热量符号相反：

$$\Delta S_{\mathrm{th,H}}=\frac{-Q_{BC}}{T_{\mathrm{H}}}=-nR\ln r,\qquad \Delta S_{\mathrm{th,C}}=\frac{-Q_{DA}}{T_{\mathrm{C}}}=nR\ln r.$$

气体回到初态，故 $\Delta S_{\mathrm{gas}}=0$。三个熵变之和为零，没有熵产生。向外界输出的功不携带熵。

第4问。 对热机仍采用接受能量取正的约定：$Q_{\mathrm{H}}>0$ 是从高温热库吸收的热量，$Q_{\mathrm{C}}<0$ 是从低温热库吸收的热量，$W<0$ 是一循环中接受的功。热库吸收符号相反的热量 $-Q_{\mathrm{H}}$ 和 $-Q_{\mathrm{C}}$。热机回到初态，且外界只接受功，所以两个热库的总熵变等于熵产生：

$$S_{\mathrm{i}}=-\frac{Q_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{H}}}-\frac{Q_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{C}}}.$$

乘以 $T_{\mathrm{C}}$，并解出 $Q_{\mathrm{C}}$，

$$T_{\mathrm{C}}S_{\mathrm{i}}=-\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}Q_{\mathrm{H}}-Q_{\mathrm{C}}, \qquad Q_{\mathrm{C}}=-\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}Q_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}S_{\mathrm{i}}.$$

第一定律给出 $0=Q_{\mathrm{H}}+Q_{\mathrm{C}}+W$。可回收的功为 $|W|=-W=Q_{\mathrm{H}}+Q_{\mathrm{C}}$，因此

$$\eta=\frac{|W|}{Q_{\mathrm{H}}}=1+\frac{Q_{\mathrm{C}}}{Q_{\mathrm{H}}} =1-\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}-\frac{T_{\mathrm{C}}S_{\mathrm{i}}}{Q_{\mathrm{H}}}.$$

由于 $T_{\mathrm{C}}>0$ 且 $Q_{\mathrm{H}}>0$，正的熵产生使效率降低。

第5问。 两台热机从高温热库吸收的热量相同。由第2问得

$$Q_{\mathrm{H}}=nRT_{\mathrm{H}}\ln r=1{,}0\times8{,}314\times500\times\ln3{,}4 \simeq5087\ \mathrm J.$$

可逆热机的效率为

$$\eta_{\mathrm{Carnot}}=1-\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}} =1-\frac{300}{500}=0{,}40=40\,\%.$$

第4问给出两个效率之差：

$$\Delta\eta=\eta_{\mathrm{Carnot}}-\eta_{\mathrm{irr}} =\frac{T_{\mathrm{C}}S_{\mathrm{i}}}{Q_{\mathrm{H}}} \simeq\frac{300\times2{,}0}{5087}=0{,}118.$$

分子 $T_{\mathrm{C}}S_{\mathrm{i}}=600\ \mathrm J$ 是能量，因此该比值无量纲。效率下降 $100\Delta\eta\simeq11{,}8$ 个百分点。所以，

$$\eta_{\mathrm{irr}}=0{,}40-0{,}118\simeq0{,}282=28{,}2\,\%.$$

效率由 $40\,\%$ 降为 $28{,}2\,\%$；下降 $11{,}8$ 个百分点并不表示相对下降 $11{,}8\,\%$。