题目

本习题远不止是一道经典题：它对于揭示可逆过程与不可逆过程之间的一项差异同样具有基础意义（另见第 6 课）。

考虑 $n$ 摩尔热容恒定、热容比 $\gamma=c_P/c_V>1$ 的理想气体。气体封闭在一个隔热的竖直气缸内，气缸的横截面积为 $\mathcal S$ ，顶部由质量可忽略且无摩擦移动的隔热活塞封闭。外界大气压为 $P_0$ ，作用在活塞的上表面。初始平衡时，气体压强也为 $P_0$ ，其状态为

A=(P_0,V_0,T_0).

现有总质量为 $M$ 的附加载荷。当它全部放置在活塞上时，外压为

P_1=P_0+\frac{Mg}{\mathcal S}=xP_0, \qquad x>1.

比较两项实验：一种是将质量 $M$ 分成许多小质量，逐个添加，并在每次添加后等待系统达到新的平衡；另一种是将整个质量 $M$ 一次性放上去。随后以相同的方式移除附加载荷：或者逐粒移去沙粒，或者一次性全部移除。

两项实验都从中央所示的相同初态 A 出发：此时活塞只受到大气压 P_0 的作用。左侧，总质量为 M 的附加载荷逐粒添加，使 P_ ext 逐渐增大；以相同方式移除载荷时，系统沿原路径反向变化。右侧，相同的质量 M 一次性放上去：P_ ext 从 P_0 突然变为 P_1。在两项压缩实验中，P_1=P_0+Mg/ S=xP_0。 — 图 1. 两项实验都从中央所示的相同初态 $A$ 出发：此时活塞只受到大气压 $P_0$ 的作用。左侧，总质量为 $M$ 的附加载荷逐粒添加，使 $P_{\mathrm{ext}}$ 逐渐增大；以相同方式移除载荷时，系统沿原路径反向变化。右侧，相同的质量 $M$ 一次性放上去： $P_{\mathrm{ext}}$ 从 $P_0$ 突然变为 $P_1$ 。在两项压缩实验中， $P_1=P_0+Mg/\mathcal S=xP_0$ 。

非常缓慢地添加附加载荷，使外压从 $P_0$ 缓慢变为 $P_1$ 。说明为何气体的压强 $P$ 在每一时刻都等于外压 $P_{\mathrm{ext}}$ 。此时可以使用哪一定律来联系气体的相继状态？由此求出 $P_B/P_0$ 、 $T_B/T_0$ 和 $V_B/V_0$ 关于 $x$ 和 $\gamma$ 的表达式。
现在从状态 $B$ 出发，逐粒移去沙粒，非常缓慢地移除附加载荷，直到外压恢复为 $P_0$ 。利用上一问中的同一定律，证明气体恰好回到初态 $A$ 。
再从 $A$ 出发，这次将质量 $M$ 一次性放上去：外压突然变为恒定值 $P_1$ 。完整确定终态 $B'$ ，以及 $W_{AB'}$ 、 $Q_{AB'}$ 和 $\Delta U_{AB'}$ 。
先取 $\gamma=5/3$ 和 $x=2$ ，对 $T_{B'}$ 与 $T_B$ 进行数值比较。随后对任意 $\gamma>1$ 和任意 $x>1$ 解析地建立这一比较，再比较 $V_{B'}$ 与 $V_B$ 。哪种压缩使气体升温更多，哪种压缩使气体被压缩得更多？
从 $B'$ 出发，一次性移除全部附加载荷：外压恢复为大气压 $P_0$ 。确定终态 $B"$ 。说明 $T_{B"}$ 和 $V_{B"}$ 大于还是小于各自的初始值。
对往返过程 $A\to B'\to B"$ 进行能量衡算。说明第 6 课将为这一比较补充什么内容。

提示

对于骤然过程，使用

W=-P_{\mathrm{ext}}(V_f-V_i)

，并且只在初、终平衡态使用状态方程。比较

B

和

B'

时，可以研究比值

T_{B'}/T_B

的对数。

详细解答

解答

回顾

c_V=\frac{R}{\gamma-1}

。

问题 1。附加载荷被分成足够小的质量，并且每次都在达到新的平衡后才添加下一份：因此气体经过一系列连续的平衡态，该过程是准静态过程。活塞质量可忽略且无摩擦，所以每一时刻的机械平衡要求 $P\mathcal S=P_{\mathrm{ext}}\mathcal S$ ，即 $P=P_{\mathrm{ext}}$ 。器壁绝热，因此 $\delta Q=0$ 。在这些条件下，可以使用拉普拉斯定律。 $A$ 与 $B$ 之间两种有用的形式为

P_0V_0^\gamma=P_BV_B^\gamma, \qquad T_0^\gamma P_0^{1-\gamma}=T_B^\gamma P_B^{1-\gamma}.

由于 $P_B=P_1=xP_0$ ，第一式直接给出 $V_B/V_0=x^{-1/\gamma}$ ，第二式给出 $T_B/T_0=x^{(\gamma-1)/\gamma}$ 。最终， $P_B/P_0=x$ 、 $T_B/T_0=x^{(\gamma-1)/\gamma}$ 且 $V_B/V_0=x^{-1/\gamma}$ 。

问题 2。逐渐移除附加载荷时，气体与外界始终保持机械平衡，并沿同一条拉普拉斯绝热线反向变化。最终 $P_f=P_0$ 。拉普拉斯定律给出

T_f =T_B\left(\frac{P_0}{P_1}\right)^{(\gamma-1)/\gamma} =T_0x^{(\gamma-1)/\gamma}x^{-(\gamma-1)/\gamma} =T_0,

以及

V_f =V_B\left(\frac{P_1}{P_0}\right)^{1/\gamma} =V_0x^{-1/\gamma}x^{1/\gamma} =V_0.

因此气体恰好回到状态 $A=(P_0,V_0,T_0)$ 。该过程可以沿两个方向经过同一系列平衡态，因而称为可逆过程。

问题 3。此处不能使用拉普拉斯定律：在这一骤然过程中，气体并未经过一系列平衡态。在演化过程中，只有恒定外压 $P_1$ 决定功： $W_{AB'}=-P_1(V_{B'}-V_0)$ 。在终平衡态， $P_{B'}=P_1$ 。利用 $P_0V_0=nRT_0$ 、 $P_1V_{B'}=nRT_{B'}$ 、 $Q_{AB'}=0$ 以及 $\Delta U_{AB'}=nc_V(T_{B'}-T_0)$ ，第一定律给出

T_{B'}=T_0\frac{1+(\gamma-1)x}{\gamma}.

令

\theta=\frac{1+(\gamma-1)x}{\gamma}.

则

P_{B'}=xP_0, \qquad T_{B'}=\theta T_0, \qquad V_{B'}=\frac{\theta}{x}V_0.

问题 4。先考虑 $\gamma=5/3$ 和 $x=2$ 的例子。渐进压缩给出 $T_B/T_0=2^{2/5}\simeq1{,}32$ ，而骤然压缩给出

T_{B'}/T_0=\theta=[1+(2/3)\times2]/(5/3)=7/5=1{,}40.

在这个例子中，骤然压缩使气体升温更多。下面证明该结论具有普遍性。令

f(x)=\ln\!\left(\frac{T_{B'}}{T_B}\right) =\ln\!\left(\frac{1+(\gamma-1)x}{\gamma}\right) -\frac{\gamma-1}{\gamma}\ln x.

有 $f(1)=0$ ，且

f'(x) =\frac{\gamma-1}{1+(\gamma-1)x} -\frac{\gamma-1}{\gamma x} =\frac{(\gamma-1)(x-1)} {\gamma x\,[1+(\gamma-1)x]}

当 $\gamma>1$ 且 $x>1$ 时，分母中的所有因子均为正，并且 $f'(x)>0$ 。因此 $f(x)>f(1)=0$ ，从而 $T_{B'}/T_B>1$ ，即 $T_{B'}>T_B$ 。两个状态的压强同为 $P_1$ ；理想气体状态方程因此还要求 $V_{B'}>V_B$ 。骤然压缩使气体升温更多，但压缩程度小于渐进压缩。

问题 5。附加载荷被骤然移除，使外压从 $P_1$ 变为 $P_0=P_1/x$ 。因此重新采用问题 3 的计算，并将压强比 $x$ 换成其倒数 $1/x$ 。问题 3 的结果于是变为

\frac{T_{B"}}{T_{B'}} =\frac{1+(\gamma-1)P_0/P_1}{\gamma} =\frac{1+(\gamma-1)/x}{\gamma}.

令

\phi=\frac{1+(\gamma-1)/x}{\gamma},

得到

P_{B"}=P_0, \qquad T_{B"}=\theta\phi\,T_0, \qquad V_{B"}=\theta\phi\,V_0.

而

\theta\phi-1 =\frac{\gamma-1}{\gamma^2} \left(x+\frac1x-2\right).

在所研究的情形中， $x>1$ ，所以 $x>0$ 且 $x+1/x-2=(x-1)^2/x>0$ 。由于 $\gamma>1$ ，确有 $\theta\phi-1>0$ 。因此

\boxed{T_{B"}>T_0}, \qquad \boxed{V_{B"}>V_0}.

外压经历往返变化后，气体并未回到状态 $A$ 。这一偏离是不可逆性的初步标志：将外部约束恢复到初始值，并不足以使系统恢复到初态。

问题 6。骤然膨胀是绝热的，因此在整个往返过程中

Q_{\mathrm{tot}}=0, \qquad W_{\mathrm{tot}}=\Delta U_{\mathrm{tot}} =nc_VT_0(\theta\phi-1)>0.

外部操作使压强恢复到初始值，但气体获得了净功，并保持更高的温度和更大的体积。第 6 课将再次研究这些状态，并说明可逆压缩不产生熵，而两个骤然过程都会产生熵。