Bài tập nhiệt động lực học có lời giải

Tịnh tiến, quay và chuyển động nhiệt

Bài tập 14 · Bài học 4 — Định luật thứ nhất của nhiệt động lực học

định lý König
chuyển động quay
động năng
nội năng
ma sát

Đề bài

Một hệ gồm $N$ hạt có khối lượng $m_{i}$ , khối lượng toàn phần $M$ , khối tâm có vị trí $R$ và vận tốc $V$ . Đặt $ρ_{i} = r_{i} - R$ và phân tách các vận tốc:

v_{i} = V + ω \times ρ_{i} + u_{i}^{'} .

Vận tốc góc toàn thể $ω$ được chọn sao cho chuyển động còn lại không mang mômen động lượng toàn phần nào:

i \sum m_{i} u_{i}^{'} = 0, i \sum m_{i} ρ_{i} \times u_{i}^{'} = 0 .

Thừa nhận đẳng thức $\sum_{i} m_{i} ∣ ω \times ρ_{i} ∣^{2} = ω \cdot I_{CM} ω$ , trong đó $I_{CM}$ là tenxơ quán tính đối với khối tâm.

Khai triển $E_{kin} = \frac{1}{2} \sum_{i} m_{i} v_{i}^{2}$ và chứng minh rằng ba số hạng chéo đều bằng không. Suy ra sự phân tách thành chuyển động tịnh tiến, chuyển động quay toàn thể và chuyển động còn lại.
Theo quy ước coi chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay toàn thể là chuyển động vĩ mô, phần động năng nào được tính vào nội năng? Chỉ cần đặt mình trong hệ quy chiếu khối tâm có đủ để chỉ giữ lại chuyển động nhiệt không?
Một đĩa đồng chất khối lượng $M$ , bán kính $R$ , có trục cố định, ban đầu quay với vận tốc góc $ω_{0}$ . Mômen quán tính của nó là $I = M R^{2} /2$ . Một bộ phanh làm đĩa dừng lại. Hệ gồm đĩa và phanh được cách nhiệt; các giá đỡ đứng yên không cung cấp công. Toàn bộ năng lượng tiêu tán ở lại trong hệ này, có nhiệt dung toàn phần không đổi $C$ . Thiết lập biến thiên nội năng và độ tăng nhiệt độ của hệ.
Tính năng lượng được chuyển hóa và độ tăng nhiệt độ với $M = 2, 0 kg$ , $R = 0, 10 m$ , $ω_{0} = 100 rad s^{- 1}$ và $C = 500 J K^{- 1}$ . Năng lượng này có đi qua biên của hệ dưới dạng nhiệt không?

Gợi ý

Dùng

\sum_{i} m_{i} ρ_{i} = 0

và đẳng thức tích hỗn hợp

(ω \times ρ_{i}) \cdot u_{i}^{'} = ω \cdot (ρ_{i} \times u_{i}^{'})

. Trong khi phanh,

U + E_{kin}^{macro}

được bảo toàn.

Lời giải chi tiết

Lời giải

Câu 1. Định nghĩa khối tâm cho

\sum_{i} m_{i} r_{i} = M R

. Do đó

i \sum m_{i} ρ_{i} = i \sum m_{i} r_{i} - M R = 0 .

Khai triển từng bình phương,

E_{kin} = \frac{1}{2} M V^{2} + \frac{1}{2} i \sum m_{i} ∣ ω \times ρ_{i} ∣^{2} + \frac{1}{2} i \sum m_{i} u_{i}^{'}^{2} + V \cdot (ω \times i \sum m_{i} ρ_{i}) + V \cdot i \sum m_{i} u_{i}^{'} + i \sum m_{i} (ω \times ρ_{i}) \cdot u_{i}^{'} .

Số hạng chéo thứ nhất bằng không theo định nghĩa khối tâm. Số hạng thứ hai bằng không vì động lượng của chuyển động còn lại bằng không. Với số hạng thứ ba, tích hỗn hợp cho

i \sum m_{i} (ω \times ρ_{i}) \cdot u_{i}^{'} = ω \cdot i \sum m_{i} (ρ_{i} \times u_{i}^{'}) = 0.

Dùng đẳng thức đã cho đối với tenxơ quán tính, ta còn lại

E_{kin} = \frac{1}{2} M V^{2} + \frac{1}{2} ω \cdot I_{CM} ω + \frac{1}{2} i \sum m_{i} u_{i}^{'}^{2}

Câu 2. Theo quy ước này, phần đóng góp động năng vào nội năng là số hạng cuối, $\frac{1}{2} \sum_{i} m_{i} u_{i}^{'}^{2}$ . Nội năng còn bao gồm các thế năng bên trong và các bậc tự do bên trong khác nếu có. Đặt mình trong hệ quy chiếu khối tâm làm triệt tiêu số hạng tịnh tiến, nhưng vẫn giữ lại số hạng quay toàn thể. Chẳng hạn, một đĩa quay quanh một trục cố định có động năng vĩ mô dù khối tâm của nó đứng yên.

Câu 3. Nhiệt và công đi qua biên của hệ đĩa và phanh đều bằng không. Lực của các giá đỡ có thể truyền mômen động lượng, nhưng các điểm đặt đứng yên của chúng không truyền công. Bỏ qua mọi biến thiên năng lượng vĩ mô khác, sự bảo toàn năng lượng cho

Δ U + Δ E_{rotation} = 0.

Đĩa dừng lại, nên $Δ E_{rotation} = 0 - \frac{1}{2} I ω_{0}^{2}$ . Do đó

Δ U = \frac{1}{2} I ω_{0}^{2} = \frac{1}{4} M R^{2} ω_{0}^{2} > 0.

Khi cân bằng nhiệt bên trong đã đạt được, mô hình nhiệt dung không đổi cho $Δ U = C (T_{f} - T_{i})$ , tức là

T_{f} - T_{i} = \frac{M R ^{2} ω _{0}^{2}}{4 C} .

Ma sát chuyển hóa năng lượng của chuyển động có trật tự thành nội năng ngay bên trong hệ.

Câu 4. Mômen quán tính bằng

I = 2, 0 (0, 10)^{2} /2 = 0, 010 kg m^{2}

. Ta được

Δ U = \frac{1}{2} (0, 010) (100)^{2} = 50 J, T_{f} - T_{i} = \frac{50}{500} = 0, 10 K .

Hệ nóng lên mặc dù $Q = 0$ : năng lượng này không đi qua biên của hệ dưới dạng nhiệt. Ban đầu nó tồn tại dưới dạng động năng quay.