Bài tập nhiệt động lực học có lời giải

Công cần thiết để kéo căng một màng xà phòng

Bài tập 13 · Bài học 4 — Định luật thứ nhất của nhiệt động lực học

sức căng bề mặt
công tổng quát
mặt phân cách
màng xà phòng

Đề bài

Một màng xà phòng phẳng căng trên một khung chữ nhật, trong đó một thanh dài $ℓ$ có thể trượt không ma sát. Khoảng cách $x$ giữa thanh này và cạnh đối diện của khung tăng từ $x_{A}$ đến $x_{B}$ . Màng có hai mặt phân cách không khí - chất lỏng, mỗi mặt có sức căng bề mặt $γ$ , coi là không đổi. Bỏ qua hiệu ứng biên, trọng lượng và công của lực áp suất; thể tích chất lỏng không đổi và không có trao đổi chất lỏng. Thanh dịch chuyển đủ chậm để cân bằng cơ học luôn được duy trì. Khi tạo ra mặt phân cách, công nhận được được viết là $δ W = γ d A$ , trong đó $A$ là tổng diện tích các mặt phân cách.

Vẽ khung và thanh, chỉ rõ $x$ , $ℓ$ và chiều của lực kéo bên ngoài. Biểu diễn $A (x)$ rồi $d A$ .
Xác định lực bên ngoài cần thiết và tính công nhận được khi $x$ tăng từ $x_{A}$ đến $x_{B}$ .
Tính lực và công này với $γ = 30 mN m^{- 1}$ , $ℓ = 5, 0 cm$ và $x_{B} - x_{A} = 2, 0 cm$ . Nếu quên một mặt thì sai số sẽ là gì?
Nhiệt độ của màng được giữ không đổi nhờ một nguồn nhiệt. Chỉ biết $γ$ và biến thiên diện tích có đủ để xác định $Δ U$ và $Q$ không?

Gợi ý

Mỗi mặt có diện tích

ℓ x

. Đồng nhất công

F_{ext} d x

với công tạo ra hai mặt phân cách. Ở câu cuối, cần phân biệt công nhận được với năng lượng tích trữ.

Lời giải chi tiết

Lời giải

Câu 1. Ta vẽ khung trong mặt phẳng của màng, thanh di động vuông góc với phương

x

và lực kéo bên ngoài hướng theo chiều

x

tăng. Mỗi mặt có diện tích

ℓ x

. Do đó tổng diện tích và biến thiên của nó là

A = 2 ℓ x, d A = 2 ℓ d x,

vì $ℓ$ không đổi. Hai mặt phân cách là khác nhau, dù chúng chồng lên nhau trên hình vẽ nhìn từ phía trước.

Câu 2. Công nhận được có thể viết theo hai cách:

δ W = F_{ext} d x = γ d A = 2 γ ℓ d x .

Đồng nhất hai vế cho $F_{ext} = 2 γ ℓ$ . Lực của màng chống lại lực kéo này. Vì $γ$ và $ℓ$ không đổi,

W_{A \to B} = \int_{x_{A}}^{x_{B}} 2 γ ℓ d x = 2 γ ℓ [x]_{x_{A}}^{x_{B}} = 2 γ ℓ (x_{B} - x_{A}) > 0.

Muốn tăng diện tích màng thì phải cung cấp công.

Câu 3. Trong hệ SI,

γ = 30 \times 1 0^{- 3} N m^{- 1}

ℓ = 5, 0 \times 1 0^{- 2} m

và

x_{B} - x_{A} = 2, 0 \times 1 0^{- 2} m

. Như vậy

F_{ext} = 2 (30 \times 1 0^{- 3}) (5, 0 \times 1 0^{- 2}) = 3, 0 \times 1 0^{- 3} N, W_{A \to B} = (3, 0 \times 1 0^{- 3}) (2, 0 \times 1 0^{- 2}) = 6, 0 \times 1 0^{- 5} J = 60 μ J .

Các đơn vị nhất quán: $γ ℓ$ là một lực và $γ Δ A$ là một năng lượng. Quên một mặt sẽ làm lực và công bị chia đôi một cách sai lầm.

Câu 4. Nguyên lý thứ nhất chỉ đòi hỏi

Δ U = Q + γ Δ A .

Nguồn nhiệt có thể cung cấp hoặc nhận nhiệt để giữ nhiệt độ không đổi. Nếu không có mô hình nội năng của màng, ta không biết $Δ U$ cũng như $Q$ . Do đó không thể tự động đồng nhất $γ Δ A$ với một biến thiên nội năng, cũng không thể suy ra $Q = 0$ từ tính đẳng nhiệt.