Bài tập nhiệt động lực học có lời giải

Lắp ghép một quả cầu hấp dẫn đồng nhất

Bài tập 15 · Bài học 4 — Định luật thứ nhất của nhiệt động lực học

hấp dẫn
năng lượng tương tác
quả cầu đồng nhất
tính quảng tính
tầm xa

Đề bài

Một quả cầu bán kính $R$ chứa khối lượng $M$ phân bố đều, với khối lượng riêng $ρ_{m}$ . Ta muốn tính thế năng hấp dẫn $U_{grav}$ của nó, lấy gốc bằng không khi các phần tử khối lượng ở xa nhau vô cùng.

Hãy hình dung lắp ghép quả cầu theo từng lớp đồng tâm, giữ nguyên khối lượng riêng. Ở bước bán kính đạt tới $r$ , khối lượng đã lắp ghép là $M (r)$ và ta đưa từ vô cực tới một vỏ cầu khối lượng $d M$ . Thừa nhận rằng thế do khối lượng bên trong tạo ra tại bề mặt bằng $- GM (r) / r$ . Phép tính chỉ liên quan đến năng lượng hấp dẫn; không giả thiết quả cầu ở trạng thái cân bằng cơ học.

Vẽ quả cầu đã lắp ghép và vỏ cầu được thêm vào giữa $r$ và $r + d r$ . Biểu diễn $ρ_{m}$ , $M (r)$ và $d M$ theo $M, R, r$ và $d r$ .
Viết năng lượng tương tác của vỏ cầu với quả cầu bên trong, rồi tích phân để thu được $U_{grav}$ . Có cần chia kết quả cho hai không?
Quả cầu chứa $N$ thành phần khối lượng $m$ , với $M = N m$ . Với khối lượng riêng $ρ_{m}$ cố định, biểu diễn $R$ theo $N$ rồi xác định sự phụ thuộc của $U_{grav}$ và của $U_{grav} / N$ vào $N$ .
So sánh năng lượng của một quả cầu gồm $2 N$ thành phần với tổng năng lượng của hai quả cầu, mỗi quả gồm $N$ thành phần, ở xa nhau vô cùng, tất cả có cùng khối lượng riêng. Nhận xét về dấu của hiệu số và về tính quảng tính.

Gợi ý

Vỏ cầu có thể tích

4 π r^{2} d r

. Năng lượng tương tác của nó với khối lượng đã có sẵn là

d U_{grav} = - GM (r) d M / r

. Khi đếm, mỗi cặp được tính đúng một lần, vào lúc phần ở phía ngoài của cặp được thêm vào.

Lời giải chi tiết

Lời giải

Câu 1. Hình vẽ cho thấy một khối cầu bán kính

r

, khối lượng

M (r)

, được bao quanh bởi một lớp dày

d r

; bán kính cuối

R

được ghi rõ. Tính đồng nhất của khối lượng riêng cho

ρ_{m} = \frac{M}{4 π R ^{3} /3} = \frac{3 M}{4 π R ^{3}}, M (r) = ρ_{m} \frac{4 π r ^{3}}{3} = M \frac{r ^{3}}{R ^{3}} .

Do đó khối lượng được thêm vào là

d M = 4 π ρ_{m} r^{2} d r = \frac{3 M}{R ^{3}} r^{2} d r .

Câu 2. Thế hấp dẫn là năng lượng trên một đơn vị khối lượng. Nhân nó với khối lượng được đưa tới, ta được

d U_{grav} = - \frac{GM ( r )}{r} d M = - \frac{G}{r} \frac{M r ^{3}}{R ^{3}} \frac{3 M r ^{2}}{R ^{3}} d r = - \frac{3 G M ^{2}}{R ^{6}} r^{4} d r .

Tích phân lấy trên mọi bán kính lắp ghép:

U_{grav} = - \frac{3 G M ^{2}}{R ^{6}} \int_{0}^{R} r^{4} d r = - \frac{3 G M ^{2}}{R ^{6}} [\frac{r ^{5}}{5}]_{0}^{R} = - \frac{3 G M ^{2}}{R ^{6}} \frac{R ^{5}}{5} = - \frac{3 G M ^{2}}{5 R} .

Mỗi tương tác giữa một lớp mới và một lớp bên trong chỉ được tính một lần. Vì vậy không được thêm thừa số $1/2$ . Tự năng lượng của một vỏ cầu vô cùng mỏng có bậc $(d M)^{2}$ và không đóng góp vào tích phân trong giới hạn liên tục. Dấu âm phản ánh lực hút; muốn tách các khối lượng ra thì phải cung cấp năng lượng. Cuối cùng, $G M^{2} / R$ đúng là có đơn vị jun.

Câu 3. Với mật độ cố định,

\frac{4 π R ^{3}}{3} = \frac{N m}{ρ _{m}}, R = (\frac{3 m}{4 π ρ _{m}})^{1/3} N^{1/3} .

Thay $M$ và $R$ vào biểu thức năng lượng,

U_{grav} = - \frac{3}{5} G m^{2} (\frac{4 π ρ _{m}}{3 m})^{1/3} \frac{N ^{2}}{N ^{1/3}} = - a_{g} N^{5/3},

trong đó $a_{g} = \frac{3}{5} G m^{2} (4 π ρ_{m} / (3 m))^{1/3} > 0$ không phụ thuộc $N$ . Vậy năng lượng trên mỗi thành phần là $U_{grav} / N = - a_{g} N^{2/3}$ . Giá trị tuyệt đối của nó tăng theo kích thước của hệ: nó không còn là đại lượng cường tính.

Câu 4. Quả cầu lớn có năng lượng

U_{grav} (2 N) = - a_{g} 2^{5/3} N^{5/3}

. Với hai quả cầu ở xa nhau vô cùng, tương tác giữa chúng bằng không và tổng năng lượng là

2 U_{grav} (N) = - 2 a_{g} N^{5/3}

. Hiệu số bằng

U_{grav} (2 N) - 2 U_{grav} (N) = - a_{g} (2^{5/3} - 2) N^{5/3} < 0.

Quả cầu lớn liên kết hấp dẫn chặt hơn. Riêng phép so sánh các trạng thái này không mô tả động lực học của quá trình hợp nhất. Nó cho thấy $U_{grav} (2 N) \neq = 2 U_{grav} (N)$ : năng lượng hấp dẫn không có tính quảng tính. Sự bảo toàn năng lượng không bị đặt lại vấn đề; tính quảng tính là một giả thiết bổ sung, và nó không đúng với tương tác tầm xa này.