Bài tập nhiệt động lực học có lời giải

Thay đổi kích thước của một hệ

Bài tập 7 · Bài học 3 — Các khái niệm cơ bản

tính quảng tính
tính cường tính
tính thuần nhất
bề mặt
phân tích thứ nguyên

Đề bài

Một hệ đồng nhất thông thường có khối lượng $m$ , thể tích $V$ , số hạt $N$ , nội năng $U$ , nhiệt độ $T$ và áp suất $P$ . Ở đây ta giả thiết $U$ là quảng tính, bỏ qua các tương tác tầm xa và các hiệu ứng biên. Ta thay đổi kích thước của hệ trong khi giữ nguyên trạng thái cường tính: $(m, V, N, U) \mapsto (λm, λV, λ N, λ U)$ , với $λ > 0$ , còn $T$ và $P$ giữ nguyên.

Xác định bậc thuần nhất của $m / V$ , $V / N$ , $U / N$ , $P V$ , $U^{2} / V$ và $V^{1/3}$ . Những đại lượng nào là quảng tính, cường tính, hoặc không thuộc loại nào?
Người ta đề xuất hai biểu thức cho một năng lượng, $U_{1} = a N k_{B} T$ và $U_{2} = a N^{2} k_{B} T$ , trong đó $a > 0$ không thứ nguyên và không phụ thuộc kích thước của hệ. Kiểm tra thứ nguyên của chúng, rồi xác định biểu thức nào tương thích với giả thiết quảng tính. Nhắc lại vì sao hai phép kiểm tra này là khác nhau.
Với một hình cầu bán kính $R$ , biểu diễn diện tích $A$ theo thể tích $V$ . Xác định bậc thuần nhất của $A$ và $A / V$ khi phóng to một hình cầu duy nhất ở mật độ không đổi.
So sánh diện tích của một hình cầu thể tích $8 V$ với tổng diện tích của tám hình cầu tách rời, mỗi hình cầu có thể tích $V$ . Giải thích vì sao “phóng to một vật” và “ghép các bản sao cạnh nhau” không cho cùng một kết quả đối với diện tích các mặt phân cách của nó.

Gợi ý

Thay mỗi đại lượng bằng giá trị của nó sau phép đổi tỉ lệ. Với một đại lượng thuần nhất bậc

k

, thừa số thu được phải là

λ^{k}

. Với hình cầu, xuất phát từ

V = 4 π R^{3} /3

và

A = 4 π R^{2}

Lời giải chi tiết

Lời giải

Câu 1. Các thừa số tỉ lệ được nhân với nhau trong một tích và chia cho nhau trong một thương. Cụ thể, ta có

\frac{λm}{λV} = \frac{m}{V}, \frac{λV}{λ N} = \frac{V}{N}, \frac{λ U}{λ N} = \frac{U}{N} .

Ba tỉ số này có bậc $0$ , nên là cường tính. Tiếp theo,

P (λV) = λ P V, \frac{( λ U ) ^{2}}{λV} = λ \frac{U ^{2}}{V}, (λV)^{1/3} = λ^{1/3} V^{1/3} .

Như vậy $P V$ và $U^{2} / V$ có bậc $1$ , nên là quảng tính theo nghĩa của quy luật tỉ lệ đã cho; $V^{1/3}$ có bậc $1/3$ , nên không quảng tính cũng không cường tính. Bậc thuần nhất không cho biết đơn vị: $P V$ được đo bằng jun, còn $U^{2} / V$ bằng $J^{2} m^{- 3}$ .

Câu 2.

N

là một số không thứ nguyên và

k_{B}

có đơn vị

J K^{- 1}

. Do đó cả hai biểu thức đều có thứ nguyên của năng lượng. Tuy nhiên,

U_{1} (λ N, T) = λ U_{1} (N, T), U_{2} (λ N, T) = λ^{2} U_{2} (N, T) .

Chỉ có $U_{1}$ tương thích với tính quảng tính đã giả thiết. Vậy một công thức có thể đúng đơn vị mà vẫn phụ thuộc sai vào kích thước của hệ. Điều này không loại trừ mọi năng lượng không quảng tính: chính giả thiết đặt ra trong bài tập này mới loại bỏ $U_{2}$ .

Câu 3. Rút bán kính ra rồi thay vào biểu thức diện tích:

R = (\frac{3 V}{4 π})^{1/3}, A = 4 π (\frac{3 V}{4 π})^{2/3} = (36 π)^{1/3} V^{2/3} .

Do đó $A (λV) = λ^{2/3} A (V)$ : diện tích có bậc $2/3$ . Chia cho $λV$ , ta được $A (λV) / (λV) = λ^{- 1/3} A (V) / V$ . Tỉ số diện tích trên thể tích có bậc $- 1/3$ và giảm khi hình cầu lớn lên.

Câu 4. Với hình cầu duy nhất,

A (8 V) = 8^{2/3} A (V) = 4 A (V)

. Ngược lại, tám hình cầu tách rời có tổng diện tích

8 A (V)

. Vậy tổng diện tích của chúng lớn gấp đôi. Phóng to một vật liền khối giữ nguyên hình dạng của nó và làm giảm tỉ trọng tương đối của các mặt phân cách. Việc ghép cạnh nhau thì giữ lại toàn bộ mặt phân cách của các bản sao. Cần nói rõ phép biến đổi hình học khi nghiên cứu các đóng góp bề mặt; chính những đóng góp này bị bỏ qua trong mô tả quảng tính của phần thể tích.