Bài tập nhiệt động lực học có lời giải

Đếm số biến độc lập

Bài tập 8 · Bài học 3 — Các khái niệm cơ bản

phương trình trạng thái
bậc tự do
ràng buộc
tọa độ trạng thái

Đề bài

Ta mô tả các trạng thái cân bằng của một khí lý tưởng bằng bốn biến dương $(P, V, T, n)$ , liên hệ với nhau bởi $P V = n R T$ . Ta cần tìm số chiều $d = q - r$ của tập các trạng thái có thể đạt tới, trong đó $q$ là số biến được dùng và $r$ là số quan hệ độc lập.

Xác định $q$ , $r$ và $d$ khi $n$ có thể thay đổi. Đề xuất ba tọa độ độc lập và biểu diễn biến thứ tư theo chúng.
Đếm lại khi lượng chất được cố định $n = n_{0}$ , sau đó khi áp đặt thêm $T = T_{0}$ , và cuối cùng thêm $V = V_{0}$ . Ở mỗi bước, đưa ra một cách chọn tọa độ cho các trạng thái có thể đạt tới.
Một sinh viên thêm vào $P V = n R T$ hệ thức $P = n R T / V$ và đếm được hai phương trình trạng thái. Hãy giải thích sai lầm của sinh viên đó.
Hai khí lý tưởng có lượng chất cố định $n_{1}, n_{2}$ chiếm hai ngăn của một bình có thể tích tổng $V_{tot}$ . Chúng được ngăn cách bởi một pít-tông dẫn nhiệt, di động không ma sát và không chịu ngoại lực. Ta không cố định nhiệt độ chung. Ở cân bằng, hãy đếm các quan hệ độc lập giữa $(P_{1}, V_{1}, T_{1}, P_{2}, V_{2}, T_{2})$ . Biểu diễn các thể tích và áp suất chung theo một tọa độ còn lại.

Gợi ý

Giữ nguyên bốn biến ban đầu cho cả ba lần đếm ở câu 2 và thêm một ràng buộc ở mỗi bước. Với pít-tông, dùng hai phương trình trạng thái, thể tích tổng, cân bằng nhiệt và cân bằng cơ học.

Lời giải chi tiết

Lời giải

Câu 1. Ta dùng

q = 4

biến và một quan hệ độc lập, tức

r = 1

và

d = 3

. Có thể chọn

(V, T, n)

: khi đó biến còn lại là

P = n R T / V

. Điều kiện

V > 0

cho phép thực hiện phép chia này. Câu 2. Với khối khí kín, các quan hệ là

P V = n R T

và

n = n_{0}

, nên

r = 2

và

d = 4 - 2 = 2

. Có thể chọn cặp

(V, T)

, với

P = n_{0} R T / V

. Nếu ngay từ đầu bỏ

n

khỏi danh sách biến, ta cũng có

q = 3

r = 1

, nên vẫn được

d = 2

. Ràng buộc bổ sung

T = T_{0}

nâng

r

lên

3

và cho

d = 1

. Thể tích

V

đủ để tham số hóa các trạng thái, vì

P = n_{0} R T_{0} / V

. Cuối cùng, áp đặt

V = V_{0}

nâng

r

lên

4

và cho

d = 0

: chỉ còn một trạng thái duy nhất, ứng với

P = n_{0} R T_{0} / V_{0}

. Tập cuối cùng này không cần tọa độ tự do nào. Các ràng buộc này thu hẹp tập có thể đạt tới, chứ không làm giảm số biến cần thiết để mô tả khối khí khi không có ràng buộc. Câu 3. Vì

V > 0

, cách viết thứ hai nhận được bằng cách chia cách viết thứ nhất cho

V

. Mọi trạng thái thỏa mãn hệ thức này đều tự động thỏa mãn hệ thức kia. Do đó quan hệ thứ hai không loại thêm trạng thái nào và không làm tăng

r

. Cần đếm các ràng buộc độc lập, chứ không phải số dòng phương trình. Câu 4. Sáu biến thỏa mãn năm quan hệ

P_{1} V_{1} = n_{1} R T_{1}, P_{2} V_{2} = n_{2} R T_{2}, V_{1} + V_{2} = V_{tot}, T_{1} = T_{2}, P_{1} = P_{2} .

Đặt $T = T_{1} = T_{2}$ và $P = P_{1} = P_{2}$ . Cộng hai phương trình trạng thái, ta được

P (V_{1} + V_{2}) = (n_{1} + n_{2}) R T, P = \frac{( n _{1} + n _{2} ) R T}{V _{tot}} .

Thay vào từng phương trình trạng thái,

V_{1} = \frac{n _{1} R T}{P} = \frac{n _{1}}{n _{1} + n _{2}} V_{tot}, V_{2} = \frac{n _{2} R T}{P} = \frac{n _{2}}{n _{1} + n _{2}} V_{tot} .

Thừa số $R T$ triệt tiêu trong biểu thức của các thể tích, nhưng không triệt tiêu trong biểu thức của áp suất. Nhiệt độ $T > 0$ vẫn tự do và xác định mọi biến khác: năm quan hệ quả thật độc lập và $d = 6 - 5 = 1$ . Một dữ kiện bổ sung về năng lượng có thể chọn ra một trạng thái cụ thể; ở đây dữ kiện đó không được áp đặt.