Nén khi tiếp xúc một nguồn nhiệt: thuận nghịch hay đột ngột

Câu 1. Khi nén thuận nghịch, khí duy trì cân bằng nhiệt với nguồn: nhiệt độ bằng $T_0$ suốt quá trình. Áp suất tăng dần từ $P_0$ tới $P_1=xP_0$. Ở trạng thái cuối,

$$P_{f,\mathrm{rev}}=xP_0,\qquad T_{f,\mathrm{rev}}=T_0,\qquad V_{f,\mathrm{rev}}=\frac{nRT_0}{xP_0}=\frac{V_0}{x},$$

trong đó đã dùng phương trình trạng thái đầu $nRT_0=P_0V_0$.

Khi nén đột ngột, áp suất ngoài được đặt bằng $P_1$. Cân bằng cơ học cuối đòi hỏi áp suất khí bằng áp suất ngoài: $P_{f,\mathrm{irr}}=P_1=xP_0$. Cân bằng nhiệt cuối với nguồn cho $T_{f,\mathrm{irr}}=T_0$. Phương trình trạng thái cho

$$V_{f,\mathrm{irr}}=\frac{nRT_{f,\mathrm{irr}}}{P_{f,\mathrm{irr}}} =\frac{nRT_0}{xP_0}=\frac{V_0}{x}.$$

Hai quá trình do đó dẫn tới cùng trạng thái cuối $(P_f,T_f,V_f)=(xP_0,T_0,V_0/x)$.

Câu 2. Entropy là hàm trạng thái: độ biến thiên chỉ phụ thuộc các trạng thái đầu và cuối, giống nhau trong hai thí nghiệm. Với khí lý tưởng,

$$\Delta S_{\mathrm{gas}} =nc_V\ln\frac{T_f}{T_0}+nR\ln\frac{V_f}{V_0} =nc_V\ln1+nR\ln\frac1x=-nR\ln x.$$

Vậy $\Delta S_{\mathrm{gas,rev}}=\Delta S_{\mathrm{gas,irr}}=-nR\ln x<0$. Entropy của khí giảm chưa cho biết entropy sinh ra: còn phải xét trao đổi với nguồn.

Câu 3. Khi nén thuận nghịch, $P_{\mathrm{ext}}=P=nRT_0/V$. Công nhận bằng

$$\begin{aligned} W_{\mathrm{rev}}&=-\int_{V_0}^{V_0/x}\frac{nRT_0}{V}\,\mathrm dV\\ &=-nRT_0[\ln V]_{V_0}^{V_0/x} =-nRT_0\ln(1/x)=nRT_0\ln x>0. \end{aligned}$$

Khí trở lại nhiệt độ đầu nên $\Delta U=nc_V(T_0-T_0)=0$. Nguyên lý thứ nhất $\Delta U=Q+W$ cho $Q_{\mathrm{rev}}=-W_{\mathrm{rev}}$. Nguồn nhận nhiệt lượng đối dấu ở nhiệt độ $T_0$:

$$\Delta S_{\mathrm{th,rev}}=\frac{-Q_{\mathrm{rev}}}{T_0}=nR\ln x.$$

Entropy khí nhận bằng $S_{\mathrm{e},\mathrm{rev}}=Q_{\mathrm{rev}}/T_0=-nR\ln x$ nên $S_{\mathrm{i},\mathrm{rev}}=\Delta S_{\mathrm{gas}}-S_{\mathrm{e},\mathrm{rev}}=0$. Nguồn nhận entropy $S_{\mathrm{e},\mathrm{th}}=-Q_{\mathrm{rev}}/T_0$ bằng độ biến thiên của nó, nên cũng không sinh entropy. Cộng lại, $\Delta S_{\mathrm{gas}}+\Delta S_{\mathrm{th,rev}}=0$: entropy sinh ra trong toàn hệ bằng không.

Câu 4. Nén đột ngột diễn ra dưới áp suất ngoài không đổi $P_1$. Công nhận do đó là

$$\begin{aligned} W_{\mathrm{irr}}&=-P_1(V_f-V_0) =-xP_0\left(\frac{V_0}{x}-V_0\right)\\ &=P_0V_0(x-1)=nRT_0(x-1)>0. \end{aligned}$$

Vẫn có $\Delta U=0$ nên $Q_{\mathrm{irr}}=-nRT_0(x-1)$.

Câu 5. Nguồn nhận $-Q_{\mathrm{irr}}$, nên

$$\Delta S_{\mathrm{th,irr}}=\frac{-Q_{\mathrm{irr}}}{T_0}=nR(x-1).$$

Cân bằng của khí là

$$\Delta S_{\mathrm{gas}}=\frac{Q_{\mathrm{irr}}}{T_0}+S_{\mathrm{i}}, \qquad S_{\mathrm{i}}=-nR\ln x+nR(x-1).$$

Nguồn lý tưởng nhận entropy $-Q_{\mathrm{irr}}/T_0$ bằng độ biến thiên của nó: không sinh entropy. Toàn hệ khí và nguồn không nhận nhiệt từ vật khác; công bên ngoài không mang entropy. Độ tăng entropy của toàn hệ vì thế là lượng sinh ra:

$$S_{\mathrm{i}}=\Delta S_{\mathrm{gas}}+\Delta S_{\mathrm{th,irr}} =-nR\ln x+nR(x-1).$$

Đặt $f(x)=x-1-\ln x$. Khi đó $f(1)=0$ và $f'(x)=1-1/x=(x-1)/x>0$ với $x>1$. Hàm tăng từ không nên $S_{\mathrm{i}}=nRf(x)>0$. Mặt khác,

$$W_{\mathrm{irr}}-W_{\mathrm{rev}} =nRT_0(x-1)-nRT_0\ln x=T_0 S_{\mathrm{i}}.$$

Vì $Q=-W$ ở cả hai trường hợp, công bổ sung được thải thành nhiệt vào nguồn. Đó là cái giá của tính không thuận nghịch.