Bài tập nhiệt động lực học có lời giải

Một quả cầu tích điện và vấn đề tính quảng tính

Bài tập 16 · Bài học 4 — Định luật thứ nhất của nhiệt động lực học

tương tác Coulomb
năng lượng tĩnh điện
tính quảng tính
tính trung hòa điện

Đề bài

Một điện tích tổng $Q > 0$ phân bố đều trong thể tích của một quả cầu bán kính $R$ , trong chân không. Các ràng buộc giữ nguyên phân bố này; ở đây ta chỉ tính năng lượng tĩnh điện $U_{el}$ của nó. Đây không phải là một quả cầu dẫn điện, mà ở trạng thái cân bằng các điện tích sẽ nằm trên bề mặt.

Ta lắp ghép phân bố điện tích bằng cách đưa các vỏ cầu tích điện từ vô cực tới. Với điện tích đã lắp ghép $Q (r)$ trong một khối cầu bán kính $r$ , điện thế tại bề mặt bằng $Φ (r) = k_{e} Q (r) / r$ , trong đó $k_{e} = 1/ (4 π ε_{0})$ . Năng lượng bằng không khi các phần tử điện tích ở xa nhau vô cùng.

Vẽ một bước của quá trình lắp ghép. Biểu diễn $Q (r)$ và $d Q$ theo $Q, R, r$ và $d r$ , rồi tính $U_{el}$ .
Trong một mô hình liên tục gồm $N$ thành phần có cùng điện tích $q_{0}$ , đặt $Q = N q_{0}$ . Với mật độ hạt cố định, viết $R = r_{0} N^{1/3}$ và xác định sự phụ thuộc của năng lượng vào $N$ . So sánh dấu và bậc thuần nhất của nó với trường hợp hấp dẫn.
Với điện tích tổng cố định, tính biến thiên năng lượng khi quả cầu giãn nở từ $R_{A}$ đến $R_{B} > R_{A}$ . Công bên ngoài nhận được có dấu gì nếu sự giãn nở này là giả tĩnh và không tiêu tán? Biểu thức của công này chỉ biểu diễn phần đóng góp điện.
Với các điện tích khác dấu, năng lượng tương tác vi mô được viết là $U_{el} = k_{e} i < j \sum \frac{q _{i} q _{j}}{r _{ij}} .$
Tại sao định luật thu được cho một quả cầu mang điện tích chỉ một dấu không chứng minh được rằng mọi vật chất thông thường đều không quảng tính? Điện tích tổng bằng không có đủ để làm tổng này bằng không không?

Gợi ý

Dùng

d U_{el} = Φ (r) d Q

. Cách lắp ghép theo vỏ cầu tính mỗi cặp đúng một lần. Ở câu cuối, hãy xét một cặp điện tích đơn giản

+ q_{0}

và

- q_{0}

cách nhau một khoảng

a

Lời giải chi tiết

Lời giải

Câu 1. Hình vẽ biểu diễn khối cầu đã tích điện, bán kính

r

, và vỏ cầu được đưa tới, dày

d r

. Mật độ điện tích khối không đổi bằng

ρ_{q} = 3 Q / (4 π R^{3})

. Do đó

Q (r) = ρ_{q} \frac{4 π r ^{3}}{3} = Q \frac{r ^{3}}{R ^{3}}, d Q = 4 π ρ_{q} r^{2} d r = \frac{3 Q}{R ^{3}} r^{2} d r .

Biến thiên năng lượng khi thêm vỏ cầu là

d U_{el} = \frac{k _{e} Q ( r )}{r} d Q = \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{R ^{6}} r^{4} d r .

Cộng các đóng góp từ tâm đến bề mặt,

U_{el} = \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{R ^{6}} \int_{0}^{R} r^{4} d r = \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{R ^{6}} [\frac{r ^{5}}{5}]_{0}^{R} = \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{5 R} = \frac{3 Q ^{2}}{20 π ε _{0} R} .

Tương tác của mỗi cặp lớp chỉ được tính một lần; không cần thêm thừa số $1/2$ nào. Kết quả dương: phải chống lại lực đẩy để lắp ghép các điện tích. Tích $k_{e} Q^{2} / R$ có đơn vị jun.

Câu 2. Với mật độ hạt

ρ_{N} = N / (4 π R^{3} /3)

cố định, ta có

r_{0} = (3/ (4 π ρ_{N}))^{1/3}

. Thay vào,

U_{el} = \frac{3 k _{e} ( N q _{0} ) ^{2}}{5 r _{0} N ^{1/3}} = \frac{3 k _{e} q _{0}^{2}}{5 r _{0}} N^{5/3} .

Năng lượng này có bậc $5/3$ , nên không quảng tính. Năng lượng trên mỗi hạt tăng như $N^{2/3}$ . Bậc này giống với quả cầu hấp dẫn vì cả hai thế đều giảm như $1/ r$ ; dấu thì ngược lại, vì các điện tích cùng dấu đẩy nhau. Mô hình liên tục mô tả phần đóng góp tập thể, không tính tự năng lượng của các điện tích điểm.

Câu 3. Với

Q

cố định, hiệu số bằng

Δ U_{el} = \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{5} (\frac{1}{R _{B}} - \frac{1}{R _{A}}) < 0.

Trong một quá trình giả tĩnh không tiêu tán, phần đóng góp điện vào công nhận được chính là biến thiên thế năng. Cũng có thể kiểm tra điều này bằng tích phân:

W_{ext} = \int_{R_{A}}^{R_{B}} - \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{5 R ^{2}} d R = [\frac{3 k _{e} Q ^{2}}{5 R}]_{R_{A}}^{R_{B}} = Δ U_{el} < 0.

Tác nhân bên ngoài giữ các điện tích đang đẩy nhau và nhận công trong quá trình giãn nở. Mọi sự tích trữ năng lượng khác trong cơ cấu giữ đều không được tính vào cân bằng điện này.

Câu 4. Với các điện tích cùng dấu, mọi tích

q_{i} q_{j}

đều dương: các đóng góp của chúng cộng dồn. Ngược lại, trong vật chất trung hòa điện, có cả các đóng góp hút và đẩy, có thể bù trừ nhau ở khoảng cách lớn. Như vậy, tính trung hòa và, trong những môi trường có hiện tượng này, sự chắn làm thay đổi lập luận dựa trên việc cộng các số hạng cùng dấu. Tuy nhiên, trung hòa toàn phần không có nghĩa là

U_{el} = 0

. Hai điện tích

+ q_{0}

và

- q_{0}

cách nhau

a

có điện tích tổng bằng không nhưng năng lượng tương tác

- k_{e} q_{0}^{2} / a

khác không. Phải biết cách tổ chức và các tương quan giữa các điện tích mới thiết lập được một định luật tỉ lệ. Vì vậy, phép tính cho quả cầu tích điện đều không phải là bằng chứng cho tính không quảng tính của mọi vật chất, cũng không phải là bằng chứng cho tính quảng tính của các hệ trung hòa.