Máy nhiệt giữa hai khối: công tối đa có thể thu được

Câu 1. Các khối không biến dạng và không nhận công. Vì vậy độ biến thiên năng lượng bằng nhiệt lượng nhận:

$$C_A\,\mathrm dT_A=-\delta Q_A,\qquad C_B\,\mathrm dT_B=-\delta Q_B.$$

Máy trở lại trạng thái đầu. Cân bằng năng lượng cho $0=\delta Q_A+\delta Q_B+\delta W$, tức

$$\delta W=-(\delta Q_A+\delta Q_B)<0.$$

Hiệu suất là tỉ số công thu được trên nhiệt lượng nhận từ A. Vì $\delta W<0$, ta có $|\delta W|=-\delta W$, nên

$$\eta=\frac{|\delta W|}{\delta Q_A} =1+\frac{\delta Q_B}{\delta Q_A}=1-\frac{T_B}{T_A} \quad\Longrightarrow\quad \delta Q_B=-\frac{T_B}{T_A}\delta Q_A.$$

Khối A nhận $-\delta Q_A<0$ và khối B nhận $-\delta Q_B>0$. Các nhiệt dung dương nên $\mathrm dT_A<0$ và $\mathrm dT_B>0$. Chênh lệch vì vậy giảm:

$$\mathrm d(T_A-T_B) =-\delta Q_A\left(\frac1{C_A}+\frac{T_B}{C_BT_A}\right)<0.$$

Tỉ số $T_B/T_A$ tăng vì tử số tăng và mẫu số giảm. Hiệu suất $1-T_B/T_A$ giảm dần. Khi $T_A=T_B$, hiệu suất bằng không: chênh lệch nhiệt độ đã hết và không động cơ tuần hoàn nào giữa hai khối còn có thể cung cấp công.

Câu 2. Cân bằng của các khối cho $\delta Q_A=-C_A\,\mathrm dT_A$ và $\delta Q_B=-C_B\,\mathrm dT_B$. Thay vào liên hệ trước:

$$-C_B\,\mathrm dT_B =-\frac{T_B}{T_A}(-C_A\,\mathrm dT_A) =\frac{T_B}{T_A}C_A\,\mathrm dT_A.$$

Đổi dấu, rồi chia cho $T_B$,

$$C_B\,\mathrm dT_B=-\frac{T_B}{T_A}C_A\,\mathrm dT_A, \qquad C_A\frac{\mathrm dT_A}{T_A} +C_B\frac{\mathrm dT_B}{T_B}=0.$$

Tích phân từ nhiệt độ đầu đến các nhiệt độ đạt được sau số chu trình bất kỳ:

$$C_A\int_{T_{A,0}}^{T_A}\frac{\mathrm dT}{T} +C_B\int_{T_{B,0}}^{T_B}\frac{\mathrm dT}{T}=0.$$

Nguyên hàm của $1/T$ là $\ln T$; thay cận cho

$$C_A\ln\frac{T_A}{T_{A,0}}+C_B\ln\frac{T_B}{T_{B,0}}=0.$$

Liên hệ này thể hiện bảo toàn tổng entropy khi hoạt động thuận nghịch. Khi dừng, $T_A=T_B=T_r$. Viết $\ln(T_r/T_{B,0})=\ln(T_r/T_{A,0})+\ln(T_{A,0}/T_{B,0})$,

$$(C_A+C_B)\ln\frac{T_r}{T_{A,0}} =C_B\ln\frac{T_{B,0}}{T_{A,0}}.$$

Chia cho $C_A+C_B$ rồi lấy hàm mũ cho

$$\boxed{T_r=T_{A,0} \left(\frac{T_{B,0}}{T_{A,0}}\right)^{C_B/(C_A+C_B)}.}$$

Nhiệt dung của các khối hữu hạn: mọi nhiệt lượng trao đổi đều làm thay đổi nhiệt độ theo $\mathrm dT=\delta Q_{\mathrm{block}}/C$, trong đó $\delta Q_{\mathrm{block}}$ là nhiệt lượng khối đang xét nhận. Vì vậy hiệu suất ban đầu không áp dụng cho cả thí nghiệm. Xấp xỉ nhiệt độ không đổi chỉ đúng trong từng chu trình vô cùng nhỏ, mỗi lần với các nhiệt độ mới.

Câu 3. Hệ «các khối + máy» đoạn nhiệt nhưng cung cấp công, nên không cô lập. Máy không tích trữ năng lượng, do đó nguyên lý thứ nhất cho

$$C_A(T_r-T_{A,0})+C_B(T_r-T_{B,0})=W_{\mathrm{rev}}.$$

Công toàn hệ nhận chính là công máy nhận. Gộp các số hạng,

$$W_{\mathrm{rev}}=(C_A+C_B)T_r-C_AT_{A,0}-C_BT_{B,0}<0.$$

Công thu được bên ngoài là trị tuyệt đối của công đó:

$$\boxed{|W_{\mathrm{rev}}|=-W_{\mathrm{rev}} =C_AT_{A,0}+C_BT_{B,0}-(C_A+C_B)T_r.}$$

Mỗi tích $CT$ có đơn vị năng lượng, joule. Để hiểu vì sao thuận nghịch cho cực đại, xét máy sinh entropy và đưa các khối đến nhiệt độ chung $T_*$. Cân bằng entropy của các khối buộc

$$C_A\ln\frac{T_*}{T_{A,0}}+C_B\ln\frac{T_*}{T_{B,0}}\geq0.$$

Trừ đi cân bằng thuận nghịch bằng không, còn $(C_A+C_B)\ln(T_*/T_r)\geq0$, nên $T_*\geq T_r$. Công nhận trong chế độ động cơ này bằng $W_*=(C_A+C_B)T_*-C_AT_{A,0}-C_BT_{B,0}$, suy ra

$$W_*-W_{\mathrm{rev}}=(C_A+C_B)(T_*-T_r)\geq0.$$

Vậy $W_{\mathrm{rev}}\leq W_*\leq0$: công nhận âm nhất trong trường hợp thuận nghịch. Trị tuyệt đối vì thế lớn nhất, $|W_*|\leq|W_{\mathrm{rev}}|$.

Với $C_A=C_B=C$, số mũ là $1/2$, suy ra

$$T_r=T_{A,0}\sqrt{\frac{T_{B,0}}{T_{A,0}}} =\sqrt{T_{A,0}T_{B,0}}, W_{\mathrm{rev}}=-C\left(\sqrt{T_{A,0}}-\sqrt{T_{B,0}}\right)^2<0, |W_{\mathrm{rev}}|=C\left(T_{A,0}+T_{B,0} -2\sqrt{T_{A,0}T_{B,0}}\right) =C\left(\sqrt{T_{A,0}}-\sqrt{T_{B,0}}\right)^2>0.$$

Nhận ra hằng đẳng thức $a^2+b^2-2ab=(a-b)^2$. Công bằng không nếu các nhiệt độ đầu bằng nhau.

Câu 4. Đại lượng cho trước là nhiệt dung riêng. Nhiệt dung toàn phần của mỗi khối vì vậy bằng

$$C=mc=1{,}0\times450=450\ \mathrm{J\,K^{-1}}.$$

Nhiệt độ dưới căn phải tính theo kelvin:

$$T_{A,0}=60+273{,}15=333{,}15\ \mathrm K,\qquad T_{B,0}=20+273{,}15=293{,}15\ \mathrm K.$$

Thay vào kết quả câu 3,

$$|W_{\mathrm{rev}}| =450\left(\sqrt{333{,}15}-\sqrt{293{,}15}\right)^2 \simeq575\ \mathrm J=0{,}575\ \mathrm{kJ}.$$

Công tối đa thu được do đó xấp xỉ $0{,}58\ \mathrm{kJ}$. Theo quy ước năng lượng nhận, công máy nhận bằng $W_{\mathrm{rev}}\simeq-575\ \mathrm J$: dấu âm cho biết máy cung cấp năng lượng này ra ngoài.