Bài tập nhiệt động lực học có lời giải

Kiểm tra một hệ thức Maxwell trên một đường đoạn nhiệt

Bài tập 35 · Bài học 7 — Cấu trúc toán học: các hệ thức cơ bản

Đề bài

Với một hệ kín có thành phần cố định,

d U = T d S - P d V .

Xét một khí lý tưởng có nhiệt dung mol $c_{V}$ không đổi và đặt $γ = c_{P} / c_{V}$ , với $c_{P} - c_{V} = R$ .

Từ vi phân của $U (S, V)$ , suy ra hệ thức Maxwell $(\frac{\partial T}{\partial V})_{S} = - (\frac{\partial P}{\partial S})_{V} .$
Tính vế trái từ $T V^{γ - 1} = const$ .
Tính riêng vế phải bằng cách dùng $P = n R T / V$ và $d S = n c_{V} d T / T$ ở thể tích không đổi.
Kiểm tra rằng hai kết quả trùng nhau.

Gợi ý

Ở câu 1, đồng nhất

T = (\partial U / \partial S)_{V}

và

- P = (\partial U / \partial V)_{S}

, rồi hoán đổi thứ tự lấy đạo hàm.

Lời giải

1. Các biến tự nhiên của

U

là

S

và

V

. Do đó

T = (\frac{\partial U}{\partial S})_{V}, - P = (\frac{\partial U}{\partial V})_{S} .

Vì các đạo hàm chéo của $U$ bằng nhau,

(\frac{\partial T}{\partial V})_{S} = \frac{\partial ^{2} U}{\partial V \partial S} = - (\frac{\partial P}{\partial S})_{V} .

2. Trên một đường đoạn nhiệt thuận nghịch, $T V^{γ - 1} = K$ . Lấy vi phân ở entropy không đổi,

V^{γ - 1} d T + T (γ - 1) V^{γ - 2} d V = 0.

Sau khi chia cho $V^{γ - 1} d V$ ,

(\frac{\partial T}{\partial V})_{S} = - (γ - 1) \frac{T}{V} .

3. Ở thể tích không đổi, $P = n R T / V$ , nên

(\frac{\partial P}{\partial S})_{V} = \frac{n R}{V} (\frac{\partial T}{\partial S})_{V} .

Mặt khác $d S = n c_{V} d T / T$ ở thể tích không đổi, suy ra $(\partial T / \partial S)_{V} = T / (n c_{V})$ . Như vậy

- (\frac{\partial P}{\partial S})_{V} = - \frac{R T}{c _{V} V} .

4. Hệ thức Mayer cho $R / c_{V} = (c_{P} - c_{V}) / c_{V} = γ - 1$ . Do đó vế phải bằng $- (γ - 1) T / V$ , đúng như vế trái.