Bài tập nhiệt động lực học có lời giải

Khí photon trong Vũ trụ

Bài tập 39 · Bài học 7 — Cấu trúc toán học: các hệ thức cơ bản

khí photon
bức xạ
bức xạ phông vi sóng vũ trụ
hệ thức cơ bản
giãn nở đoạn nhiệt
hàm thuần nhất
thế hóa học bằng không

Đề bài

Trong những khoảnh khắc đầu tiên của Vũ trụ, vật chất là một plasma nóng gồm các hạt nhân, electron và photon. Vào khoảng $T_{i} \approx 3000 K$ , các nguyên tử đầu tiên hình thành và các photon trở nên tự do. Coi rằng vào thời điểm đó khí photon ở trạng thái cân bằng tại nhiệt độ $T_{i}$ , rồi trải qua một quá trình giãn nở đoạn nhiệt thuận nghịch theo sự giãn nở của Vũ trụ. Thừa nhận hệ thức cơ bản của nó

S (U, V) = \frac{4}{3} a V^{1/4} U^{3/4},

trong đó $a$ là một hằng số dương có thứ nguyên. Entropy không phụ thuộc vào số photon $N$ : số này không được bảo toàn.

Nhắc lại định nghĩa của một hàm thuần nhất bậc một và chứng minh rằng $S$ là một hàm như vậy.
Vẽ dáng điệu của $S$ theo $U$ với $V$ cố định. Hàm này có lõm không? Nhận xét.
Xác định $T$ , $P$ và $μ$ từ các đạo hàm của $S$ . Chứng minh nói riêng rằng $U = a^{4} V T^{4}$ và $P = U / (3 V)$ , rồi nhận xét về giá trị của $μ$ .
Viết nguyên lý thứ nhất cho khí này và áp dụng cho một quá trình giãn nở đoạn nhiệt thuận nghịch. Suy ra một hệ thức giữa $U$ và $V$ dọc theo quá trình này.
Suy ra rằng $V T^{3}$ không đổi trong suốt quá trình giãn nở.
Tìm lại kết quả này trực tiếp, từ entropy biểu diễn theo $T$ và $V$ .
Ngày nay khí photon được quan sát ở $T_{f} \approx 3 K$ : đó là bức xạ phông vi sóng vũ trụ. Kể từ lúc phát xạ, thể tích của Vũ trụ đã được nhân lên bao nhiêu lần?

Gợi ý

Trong biểu diễn entropy,

1/ T = (\partial S / \partial U)_{V}

P / T = (\partial S / \partial V)_{U}

và

μ / T = - (\partial S / \partial N)_{U, V}

. Ở câu 4, một quá trình đoạn nhiệt thuận nghịch thỏa mãn

d S = 0

, do đó

d U = - P d V

: hãy tách biến.

Lời giải chi tiết

Lời giải

Câu 1. Một hàm

f

nhiều biến là thuần nhất bậc một nếu

f (λ x, λ y) = λ f (x, y)

với mọi

λ > 0

. Ở đây,

S (λ U, λV) = \frac{4}{3} a (λV)^{1/4} (λ U)^{3/4} = \frac{4}{3} a λ^{1/4 + 3/4} V^{1/4} U^{3/4} = λ S (U, V) .

Vậy entropy của khí photon có tính quảng tính.

Câu 2. Với

V

cố định,

S

tỉ lệ với

U^{3/4}

. Đạo hàm bậc nhất của nó,

(\frac{\partial S}{\partial U})_{V} = a V^{1/4} U^{- 1/4} > 0,

là dương: $S$ tăng theo $U$ , và nhiệt độ là dương. Đạo hàm bậc hai của nó,

(\frac{\partial ^{2} S}{\partial U ^{2}})_{V} = - \frac{a}{4} V^{1/4} U^{- 5/4} < 0,

là âm: $S$ lõm theo $U$ . Đường cong xuất phát từ gốc tọa độ với tiếp tuyến thẳng đứng, rồi cong dần xuống và luôn nằm phía trên các dây cung của nó. Tính lõm này phản ánh sự ổn định của trạng thái cân bằng của khí photon.

Câu 3. Theo câu 2,

\frac{1}{T} = a (\frac{V}{U})^{1/4} ⟹ (\frac{U}{V})^{1/4} = a T ⟹ U = a^{4} V T^{4} .

Đạo hàm theo $V$ , với $U$ cố định, bằng

\frac{P}{T} = (\frac{\partial S}{\partial V})_{U} = \frac{4}{3} a \cdot \frac{1}{4} V^{- 3/4} U^{3/4} = \frac{a}{3} (\frac{U}{V})^{3/4} .

Mà $(U / V)^{3/4} = ((U / V)^{1/4})^{3} = a^{3} T^{3}$ , suy ra

P = T \cdot \frac{a}{3} \cdot a^{3} T^{3} = \frac{a ^{4} T ^{4}}{3} = \frac{U}{3 V} .

Cuối cùng, $S$ không phụ thuộc $N$ , nên $μ = - T (\partial S / \partial N)_{U, V} = 0$ . Thế hóa học của photon bằng không: vì số photon không được bảo toàn, nó tự điều chỉnh tự do ở trạng thái cân bằng, và thêm một photon không tốn gì cả.

Câu 4. Vì số hạng

μ d N

bằng không, hệ thức cơ bản dạng vi phân được viết là

d U = T d S - P d V

. Với một quá trình giãn nở đoạn nhiệt thuận nghịch,

d S = 0

, nên, với

P = U / (3 V)

d U = - P d V = - \frac{U}{3 V} d V ⟹ \frac{d U}{U} = - \frac{1}{3} \frac{d V}{V} .

Tích phân giữa trạng thái đầu và một trạng thái bất kỳ của quá trình giãn nở, $ln (U / U_{i}) = - \frac{1}{3} ln (V / V_{i})$ , tức là

U V^{1/3} = const .

Câu 5. Thay $U$ bằng $a^{4} V T^{4}$ :

a^{4} V T^{4} \cdot V^{1/3} = a^{4} V^{4/3} T^{4} = const .

Vì $a$ không đổi, $V^{4/3} T^{4} = (V^{1/3} T)^{4}$ không đổi, nên $V^{1/3} T$ cũng vậy; lập phương lên, $V T^{3} = const$ .

Câu 6. Biểu diễn

S

theo

T

và

V

bằng cách thay

U

bằng

a^{4} V T^{4}

S = \frac{4}{3} a V^{1/4} (a^{4} V T^{4})^{3/4} = \frac{4}{3} a V^{1/4} a^{3} V^{3/4} T^{3} = \frac{4}{3} a^{4} V T^{3} .

Một quá trình giãn nở đoạn nhiệt thuận nghịch là đẳng entropy: $S$ không đổi, nên $V T^{3}$ cũng vậy. Ta tìm lại trực tiếp kết quả của câu 5.

Câu 7. Vì

V T^{3}

được bảo toàn,

\frac{V _{f}}{V _{i}} = (\frac{T _{i}}{T _{f}})^{3} = (\frac{3000}{3})^{3} = (1 0^{3})^{3} = 1 0^{9} .

Kể từ lúc phát xạ, thể tích của Vũ trụ đã được nhân lên một tỉ lần, ứng với thừa số $1 0^{3}$ trên các khoảng cách. Bức xạ phát ra ở khoảng $3000 K$ , được làm lạnh bởi sự giãn nở, chính là bức xạ phông vi sóng vũ trụ ngày nay đo được ở $2, 7 K$ .