Bài tập nhiệt động lực học có lời giải

Giãn nở đẳng entropy và tái dựng một hệ thức cơ bản

Bài tập 38 · Bài học 7 — Cấu trúc toán học: các hệ thức cơ bản

hệ thức cơ bản
giãn nở đẳng entropy
phương trình trạng thái
biểu diễn entropy
điều kiện khả tích
đại lượng mol

Đề bài

Phần A. Một hệ được mô tả bởi hệ thức cơ bản dạng mol

u = \frac{A}{v} e^{s / (3 R)},

trong đó $u$ , $v$ và $s$ là nội năng mol, thể tích mol và entropy mol, $A > 0$ là một hằng số và $R$ là hằng số khí lý tưởng. Trạng thái đầu được đặc trưng bởi nhiệt độ $T_{0}$ và áp suất $P_{0}$ .

Biểu diễn $T$ và $P$ theo $u$ và $v$ . Suy ra phương trình trạng thái liên hệ $P$ , $v$ và $T$ .
Cho hệ giãn nở đẳng entropy cho đến khi áp suất của nó giảm đi tám lần. Biểu diễn nhiệt độ cuối chỉ theo $T_{0}$ .

Phần B. Một hệ khác, có lượng chất cố định, tuân theo hai phương trình trạng thái

U = 2 P V, P = B T^{3},

trong đó $B > 0$ là một hằng số.

Biểu diễn $1/ T$ và $P / T$ theo $U$ và $V$ .
Một hệ thức cơ bản $S (U, V)$ chỉ có thể tồn tại nếu các đạo hàm chéo bằng nhau: $\partial (1/ T) / \partial V = \partial (P / T) / \partial U$ . Kiểm tra điều kiện này.
Xác định hệ thức cơ bản $S (U, V)$ sai khác một hằng số. Kiểm tra rằng nó cho lại đúng hai phương trình trạng thái, rồi kiểm tra rằng nó có tính quảng tính.

Gợi ý

Phần A:

T = (\partial u / \partial s)_{v}

và

P = - (\partial u / \partial v)_{s}

; dọc theo một đường đẳng entropy,

s

cố định và mọi đại lượng đều biểu diễn được theo

v

. Phần B:

d S = (1/ T) d U + (P / T) d V

. Trước hết tích phân

(\partial S / \partial U)_{V} = 1/ T

với

V

cố định, cộng thêm một hàm

f (V)

, rồi xác định

f

nhờ

(\partial S / \partial V)_{U} = P / T

Lời giải chi tiết

Lời giải

Câu 1. Với

v

cố định, đạo hàm của

e^{s / (3 R)}

theo

s

bằng

e^{s / (3 R)} / (3 R)

, suy ra

T = (\frac{\partial u}{\partial s})_{v} = \frac{A}{v} \frac{e ^{s / (3 R)}}{3 R} = \frac{u}{3 R} .

Với $s$ cố định, đạo hàm của $v^{- 1/2}$ bằng $- \frac{1}{2} v^{- 3/2}$ , suy ra

P = - (\frac{\partial u}{\partial v})_{s} = \frac{1}{2} A v^{- 3/2} e^{s / (3 R)} = \frac{u}{2 v} .

Hệ thức thứ nhất cho $u = 3 R T$ . Thay vào hệ thức thứ hai,

P = \frac{3 R T}{2 v}, tức l \overset{a}{ˋ} P v = \frac{3}{2} R T .

Câu 2. Dọc theo đường đẳng entropy, $s$ không đổi, nên $u = A e^{s / (3 R)} v^{- 1/2}$ tỉ lệ với $v^{- 1/2}$ . Từ đó

T = \frac{u}{3 R} \propto v^{- 1/2}, P = \frac{u}{2 v} \propto v^{- 3/2} .

Áp suất giảm đi tám lần đòi hỏi

(\frac{v _{f}}{v _{0}})^{- 3/2} = \frac{1}{8} ⟹ (\frac{v _{f}}{v _{0}})^{3/2} = 8 ⟹ \frac{v _{f}}{v _{0}} = 8^{2/3} = 4.

Vì nhiệt độ tỉ lệ với $v^{- 1/2}$ ,

T_{f} = T_{0} (\frac{v _{f}}{v _{0}})^{- 1/2} = \frac{T _{0}}{4} = \frac{T _{0}}{2} .

Câu 3. Hai phương trình trạng thái cho $U = 2 P V = 2 B V T^{3}$ , suy ra

T = (\frac{U}{2 B V})^{1/3}, \frac{1}{T} = (\frac{2 B V}{U})^{1/3} = (2 B)^{1/3} V^{1/3} U^{- 1/3} .

Mặt khác $P / T = B T^{2}$ , và thay $T$ vào,

\frac{P}{T} = B (\frac{U}{2 B V})^{2/3} = \frac{B ^{1/3}}{2 ^{2/3}} U^{2/3} V^{- 2/3} .

Câu 4. Lấy đạo hàm $1/ T$ theo $V$ , với $U$ cố định:

\frac{\partial}{\partial V} (\frac{1}{T}) = \frac{1}{3} (2 B)^{1/3} V^{- 2/3} U^{- 1/3} .

Lấy đạo hàm $P / T$ theo $U$ , với $V$ cố định:

\frac{\partial}{\partial U} (\frac{P}{T}) = \frac{2}{3} \frac{B ^{1/3}}{2 ^{2/3}} U^{- 1/3} V^{- 2/3} .

Vì $(2 B)^{1/3} = 2 \cdot 2^{- 2/3} B^{1/3}$ , kết quả thứ nhất cũng được viết là $\frac{2}{3} 2^{- 2/3} B^{1/3} V^{- 2/3} U^{- 1/3}$ : hai đạo hàm chéo bằng nhau. Vậy dạng $(1/ T) d U + (P / T) d V$ có thể là vi phân của một hàm $S (U, V)$ . Nói chung, hai phương trình trạng thái chọn ngẫu nhiên không thỏa mãn điều kiện này.

Câu 5. Với

V

cố định, tích phân

1/ T

theo

U

. Một nguyên hàm của

U^{- 1/3}

là

\frac{3}{2} U^{2/3}

, suy ra

S (U, V) = \frac{3}{2} (2 B)^{1/3} V^{1/3} U^{2/3} + f (V),

trong đó $f$ là một hàm chỉ của $V$ . Lấy đạo hàm theo $V$ :

(\frac{\partial S}{\partial V})_{U} = \frac{3}{2} (2 B)^{1/3} \cdot \frac{1}{3} V^{- 2/3} U^{2/3} + f^{'} (V) = \frac{1}{2} (2 B)^{1/3} U^{2/3} V^{- 2/3} + f^{'} (V) .

Mà $\frac{1}{2} (2 B)^{1/3} = 2^{- 2/3} B^{1/3}$ : số hạng thứ nhất đúng bằng $P / T$ . Do đó phải có $f^{'} (V) = 0$ , tức là $f$ là hằng số, và

S (U, V) = \frac{3}{2} (2 B V U^{2})^{1/3} + const .

Ngược lại, các đạo hàm của hàm này cho lại $1/ T$ và $P / T$ của câu 3, do đó cho lại hai phương trình trạng thái ban đầu. Cuối cùng, khi nhân $U$ và $V$ với $λ$ , tích $V U^{2}$ được nhân với $λ^{3}$ và căn bậc ba của nó được nhân với $λ$ : sai khác một hằng số cộng, $S$ thuần nhất bậc một, do đó có tính quảng tính.