Bài tập nhiệt động lực học có lời giải

Kéo giãn một sợi dây đàn hồi

Bài tập 12 · Bài học 4 — Định luật thứ nhất của nhiệt động lực học

công tổng quát
dây đàn hồi
lực kéo
nguyên lý thứ nhất

Đề bài

Một sợi dây có chiều dài tự nhiên $L_{0}$ được kéo giãn chậm, không có hiện tượng trễ, từ $L_{A}$ đến $L_{B}$ , với $L_{0} \leq L_{A} < L_{B}$ . Trong miền khảo sát, lực căng cân bằng của dây tuân theo định luật

F = K (L - L_{0}),

trong đó $K > 0$ là một độ cứng không đổi, không phụ thuộc nhiệt độ. Ở mỗi bước, lực kéo bên ngoài cân bằng với lực căng của dây. Ta dùng mô hình nội năng

U (T, L) = C (T - T_{⋆}) + \frac{1}{2} K (L - L_{0})^{2} + U_{⋆},

trong đó $C$ là nhiệt dung toàn phần không đổi, còn $T_{⋆}, U_{⋆}$ là các giá trị tham chiếu cố định. Bỏ qua biến thiên động năng và thế năng trọng trường.

Vẽ sợi dây, điểm cố định, đầu tự do di chuyển được và lực kéo bên ngoài. Viết công nguyên tố nhận được ứng với biến thiên $d L$ , rồi tính $W_{A \to B}$ .
Quá trình kéo giãn là đẳng nhiệt. Tính $Δ U$ và nhiệt lượng $Q_{A \to B}$ nhận được trong mô hình này. Nói chung, một quá trình đẳng nhiệt có buộc $Δ U = 0$ không?
Đưa sợi dây từ $L_{B}$ trở về $L_{A}$ theo cùng định luật lực kéo. Tính công nhận được trên đường về và trên cả chu trình đi rồi về. Tại sao kết quả này không có nghĩa là mọi công đều là hàm trạng thái?

Gợi ý

Dùng

δ W = F_{ext} d L

và tích phân lực biến thiên. Sau đó so sánh với hiệu nội năng do mô hình cho, bằng cách dùng

Δ U = Q + W

Lời giải chi tiết

Lời giải

Câu 1. Trên hình vẽ, đầu bên trái được giữ cố định. Đầu bên phải chịu một lực kéo hướng sang phải; độ dời của nó là

d L

. Công mà dây nhận được dương khi dây dài ra:

δ W = F_{ext} d L = K (L - L_{0}) d L .

Lực không phải là hằng số. Do đó phải tính

W_{A \to B} = \int_{L_{A}}^{L_{B}} K (L - L_{0}) d L = [\frac{K}{2} (L - L_{0})^{2}]_{L_{A}}^{L_{B}} = \frac{K}{2} [(L_{B} - L_{0})^{2} - (L_{A} - L_{0})^{2}] > 0.

Độ cứng có đơn vị $N m^{- 1}$ , nên $K (L - L_{0})^{2}$ có đơn vị $N m$ , tức là jun.

Câu 2. Vì

T_{B} = T_{A}

, số hạng nhiệt không thay đổi. Các hằng số tham chiếu cũng triệt tiêu nhau, do đó

Δ U = C (T_{B} - T_{A}) + \frac{K}{2} [(L_{B} - L_{0})^{2} - (L_{A} - L_{0})^{2}] = W_{A \to B} .

Khi đó nguyên lý thứ nhất cho $Q_{A \to B} = Δ U - W_{A \to B} = 0$ . Trong mô hình lý tưởng này, công nhận được được tích trữ dưới dạng năng lượng đàn hồi. Nhiệt độ không đổi, nhưng nội năng tăng: như vậy tính đẳng nhiệt không buộc $Δ U = 0$ . Kết quả $Q = 0$ ở đây phụ thuộc vào mô hình đã chọn và không mở rộng được cho mọi vật liệu.

Câu 3. Đổi chỗ hai cận làm đổi dấu tích phân:

W_{B \to A} = \int_{L_{B}}^{L_{A}} K (L - L_{0}) d L = [\frac{K}{2} (L - L_{0})^{2}]_{L_{B}}^{L_{A}} = - W_{A \to B} .

Vậy công nhận được trên cả chu trình đi rồi về bằng không. Sợi dây hoàn trả công đã tích trữ. Ở đây, định luật áp đặt làm cho công bằng biến thiên của năng lượng đàn hồi, vốn là một hàm của $L$ . Đó là tính chất của mô hình không trễ này và của họ quá trình này, chứ không phải tính chất chung của các truyền năng lượng dưới dạng công.