Hiệu suất và hệ số hiệu quả: các giới hạn Carnot từ bất đẳng thức Clausius

Câu 1. Ba chế độ hoạt động khác nhau ở chiều thực của các truyền năng lượng.

• Khi là động cơ, môi chất nhận nhiệt từ nguồn nóng, nhả nhiệt cho nguồn lạnh và cung cấp công: $Q_{\mathrm{H}}>0$, $Q_{\mathrm{C}}<0$ và $W<0$.
• Khi là tủ lạnh cũng như bơm nhiệt, môi chất nhận công, lấy nhiệt từ nguồn lạnh và nhả nhiệt cho nguồn nóng: $W>0$, $Q_{\mathrm{C}}>0$ và $Q_{\mathrm{H}}<0$. Hai máy này giống hệt nhau; chỉ có hiệu quả mong muốn là khác: làm lạnh nguồn lạnh hay sưởi nóng nguồn nóng.

Sau một chu trình, môi chất trở về trạng thái đầu, nên nội năng của nó không đổi: $\Delta U=0$. Nguyên lý thứ nhất $\Delta U=Q+W$ cho, trong cả ba trường hợp,

$$Q_{\mathrm{H}}+Q_{\mathrm{C}}+W=0.$$

Câu 2. Khi là động cơ, $W<0$, nên $|W|=-W$. Nguyên lý thứ nhất cho $-W=Q_{\mathrm{H}}+Q_{\mathrm{C}}$, do đó

$$\eta =\frac{-W}{Q_{\mathrm{H}}}=\frac{Q_{\mathrm{H}}+Q_{\mathrm{C}}}{Q_{\mathrm{H}}}=1+\frac{Q_{\mathrm{C}}}{Q_{\mathrm{H}}}.$$

Khi là tủ lạnh hay bơm nhiệt, $W>0$ và nguyên lý thứ nhất cho $W=-Q_{\mathrm{H}}-Q_{\mathrm{C}}$. Vì $Q_{\mathrm{H}}<0$, ta có $|Q_{\mathrm{H}}|=-Q_{\mathrm{H}}$. Như vậy

$${\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}=\frac{Q_{\mathrm{C}}}{-Q_{\mathrm{H}}-Q_{\mathrm{C}}},{\mathrm{COP}}_{\mathrm{HP}}=\frac{-Q_{\mathrm{H}}}{-Q_{\mathrm{H}}-Q_{\mathrm{C}}}.$$

Vì $-Q_{\mathrm{H}}=W+Q_{\mathrm{C}}$,

$${\mathrm{COP}}_{\mathrm{HP}}=\frac{W+Q_{\mathrm{C}}}{W}=1+\frac{Q_{\mathrm{C}}}{W}=1+{\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}.$$

Khi là động cơ, $Q_{\mathrm{C}}<0$ và $Q_{\mathrm{H}}>0$, nên $Q_{\mathrm{C}}/Q_{\mathrm{H}}<0$ và $\eta <1$: công cung cấp không thể vượt quá nhiệt lượng nhận được, và chỉ riêng nguyên lý thứ nhất đã đủ bảo đảm điều đó. Ngược lại, hệ số hiệu quả có thể vượt quá $1$: bơm nhiệt không tạo ra nhiệt lượng mà nó nhả ra, nó chuyển nhiệt từ chỗ lạnh sang chỗ nóng, và công nhận được chỉ là một phần của nhiệt lượng ấy. Thậm chí luôn có ${\mathrm{COP}}_{\mathrm{HP}}>1$, vì ${\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}>0$.

Câu 3. Môi chất thực hiện một chu trình và chỉ trao đổi nhiệt với hai nguồn nhiệt. Bất đẳng thức Clausius được viết là

$$\frac{Q_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{H}}}+\frac{Q_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{C}}}\le 0,$$

với dấu bằng khi và chỉ khi chu trình là thuận nghịch. Tách riêng số hạng lạnh, rồi nhân với $T_{\mathrm{C}}>0$, phép nhân này giữ nguyên chiều bất đẳng thức:

$$\frac{Q_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{C}}}\le -\frac{Q_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{H}}}⟹Q_{\mathrm{C}}\le -Q_{\mathrm{H}}\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}.$$

Khi là động cơ, $Q_{\mathrm{H}}>0$: chia cho $Q_{\mathrm{H}}$, phép chia này vẫn giữ nguyên chiều bất đẳng thức,

$$\frac{Q_{\mathrm{C}}}{Q_{\mathrm{H}}}\le -\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}.$$

Thay vào biểu thức ở câu 2,

$$\eta =1+\frac{Q_{\mathrm{C}}}{Q_{\mathrm{H}}}\le 1-\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}.$$

Đẳng thức đạt được khi và chỉ khi bất đẳng thức Clausius trở thành đẳng thức, tức là với một chu trình thuận nghịch: ta tìm lại định lý Carnot thứ nhất và thứ ba mà không cần giả thiết nào về môi chất công tác. Cuối cùng, $\eta =1$ đòi hỏi $Q_{\mathrm{C}}=0$; khi đó bất đẳng thức Clausius trở thành $Q_{\mathrm{H}}/T_{\mathrm{H}}\le 0$, mâu thuẫn với $Q_{\mathrm{H}}>0$. Đó là phát biểu Kelvin–Planck: một động cơ bắt buộc phải nhả nhiệt cho nguồn lạnh.

Câu 4. Lần này, xuất phát từ bất đẳng thức Clausius và tách riêng số hạng nóng, rồi nhân với $T_{\mathrm{H}}>0$:

$$\frac{Q_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{H}}}\le -\frac{Q_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{C}}}⟹Q_{\mathrm{H}}\le -Q_{\mathrm{C}}\frac{T_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{C}}}⟹-Q_{\mathrm{H}}\ge Q_{\mathrm{C}}\frac{T_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{C}}},$$

chiều bất đẳng thức bị đảo khi chuyển sang các số đối. Cộng $-Q_{\mathrm{C}}$ vào hai vế và dùng $W=-Q_{\mathrm{H}}-Q_{\mathrm{C}}$:

$$W\ge Q_{\mathrm{C}}\left(\frac{T_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{C}}}-1\right)=Q_{\mathrm{C}}\frac{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{C}}}.$$

Hai vế đều dương. Chia cho $W>0$, rồi nhân với $T_{\mathrm{C}}/(T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}})>0$:

$$1\ge \frac{Q_{\mathrm{C}}}{W}\frac{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{C}}}⟹{\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}=\frac{Q_{\mathrm{C}}}{W}\le \frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}.$$

Dùng hệ thức ở câu 2,

$${\mathrm{COP}}_{\mathrm{HP}}=1+{\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}\le 1+\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}=\frac{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}+T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}=\frac{T_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}.$$

Cũng như với động cơ, các giới hạn này chỉ đạt được với một máy thuận nghịch.

Câu 5. Khi $T_{\mathrm{C}}\to T_{\mathrm{H}}$, giới hạn của hiệu suất $1-T_{\mathrm{C}}/T_{\mathrm{H}}$ tiến tới $0$: không có chênh lệch nhiệt độ thì không thể tạo ra công. Ngược lại, giới hạn của hai COP, có mẫu số $T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}$ tiến tới $0$, tiến tới vô cùng: chuyển nhiệt giữa hai vật có cùng nhiệt độ, ở giới hạn thuận nghịch, không tốn chút công nào. Khi $T_{\mathrm{C}}\to 0$, giới hạn của hiệu suất tiến tới $1$, còn giới hạn của ${\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}$ tiến tới $0$: lấy nhiệt từ một vật ngày càng lạnh tốn ngày càng nhiều công cho mỗi jun lấy ra: làm lạnh tới gần độ không tuyệt đối ngày càng trở nên tốn kém. Câu 6. Với tủ lạnh,

$${\mathrm{COP}}_{\mathrm{R},\max }=\frac{278}{293-278}=\frac{278}{15}\approx 18,5.$$

Với tủ đông,

$${\mathrm{COP}}_{\mathrm{R},\max }=\frac{255}{293-255}=\frac{255}{38}\approx 6,7.$$

Công tiêu tốn cho mỗi jun nhiệt lấy ra bằng $W/Q_{\mathrm{C}}=1/{\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}$. Vậy tỉ số giữa hai mức tiêu tốn tối thiểu là $18,5/6,7\approx 2,8$: ngay cả khi lý tưởng, tủ đông vẫn tiêu tốn công gần gấp ba lần tủ lạnh để lấy ra cùng một nhiệt lượng, vì chênh lệch nhiệt độ phải vượt qua lớn hơn gấp đôi. Các thiết bị thực, vốn không thuận nghịch, còn kém xa các giới hạn này.