Hai khí ngăn cách bởi một vách bên trong

Câu 1. Sơ đồ là bình cứng có tổng thể tích $2V$ chia bởi một vách. Bên trái: $(n_1,T_1,V,P_0)$; bên phải: $(3n_1,T_1/2,V,P_{2,i})$. Thành ngoài đoạn nhiệt. Với vách trong cố định, kín và đoạn nhiệt, không có trao đổi nào được phép: mỗi khí giữ nguyên trạng thái dù nhiệt độ và áp suất khác nhau. Bộ phận giữ vách chịu chênh lệch áp suất.

Câu 2 — Tính bằng công thức. Phương trình khí lý tưởng cho

$$P_{1,i}=\frac{n_1RT_1}{V}=P_0, \qquad P_{2,i}=\frac{3n_1R(T_1/2)}{V}=\frac32P_0.$$

Câu 3 — Vách cố định dẫn nhiệt. Khi có trao đổi năng lượng nhỏ với $\mathrm{d}U_2=-\mathrm{d}U_1$, các thể tích không đổi: với mỗi khí, $\mathrm dS_j=\mathrm dU_j/T_j$. Cộng lại,

$$\mathrm dS_{\mathrm{tot}}=\frac{\mathrm dU_1}{T_1} +\frac{\mathrm dU_2}{T_2} =\frac{\mathrm dU_1}{T_1}-\frac{\mathrm dU_1}{T_2}.$$

Nhiệt độ trong biến phân này là nhiệt độ của trạng thái đang xét. Đặt nhân tử chung,

$$\mathrm{d}S_{\mathrm{tot}} =\left(\frac1{T_1}-\frac1{T_2}\right)\mathrm{d}U_1.$$

Tại cân bằng, entropy cực đại; hệ số của $\mathrm{d}U_1$ phải bằng không, nên $T_{1,f}=T_{2,f}=T_f$. Bảo toàn năng lượng cho

$$n_1\frac32R(T_f-T_1) +3n_1\frac32R\left(T_f-\frac{T_1}{2}\right)=0,$$

Chia cân bằng năng lượng cho $(3/2)n_1R$, thu được

$$(T_f-T_1)+3\left(T_f-\frac{T_1}{2}\right)=0, \quad 4T_f-\frac52T_1=0, \quad T_f=\frac58T_1.$$

Sau đó $P_{1,f}=n_1RT_f/V=(T_f/T_1)P_0$ và $P_{2,f}=3n_1RT_f/V=3(T_f/T_1)P_0$, nên

$$T_f=\frac58T_1, \qquad P_{1,f}=\frac58P_0, \qquad P_{2,f}=\frac{15}{8}P_0.$$

Vì vách cố định, không cần cân bằng cơ học: các áp suất cuối có thể khác nhau.

Câu 4 — Cân bằng entropy. Khí 2 chỉ nhận năng lượng dưới dạng nhiệt:

$$Q_{1\to2}=\Delta U_2 =3n_1\frac32R\left(\frac58T_1-\frac12T_1\right) =\frac9{16}n_1RT_1.$$

Khí 1 nhận nhiệt lượng trái dấu: $Q_1=-Q_{1\to2}<0$, còn $Q_2=Q_{1\to2}>0$. Vách cố định nên $W_1=W_2=0$. Toàn hệ cô lập nên $S_{\mathrm{e}}=0$ và $S_{\mathrm{i}}=\Delta S_{\mathrm{tot}}$. Do thể tích không đổi,

$$\Delta S_1=\frac32n_1R\ln\frac{T_f}{T_1} =\frac32n_1R\ln\frac58, \Delta S_2=\frac32(3n_1)R\ln\frac{T_f}{T_1/2} =\frac92n_1R\ln\frac54.$$

Khí 1 mất entropy và khí 2 nhận entropy. Tổng hai độ biến thiên là

$$S_{\mathrm{i}} =\frac32n_1R\left[ \ln\!\left(\frac58\right) +3\ln\!\left(\frac54\right) \right]>0.$$

Entropy sinh ra này biểu thị sự truyền nhiệt tự phát giữa hai khí ban đầu có nhiệt độ khác nhau. Để kiểm tra dấu mà không dùng giá trị số, gộp các logarit:

$$\ln\frac58+3\ln\frac54 =\ln\left[\frac58\left(\frac54\right)^3\right] =\ln\frac{625}{512}>0.$$

Câu 5 — Vách di động dẫn nhiệt. Với $\mathrm{d}U_2=-\mathrm{d}U_1$ và $\mathrm{d}V_2=-\mathrm{d}V_1$,

$$\mathrm{d}S_{\mathrm{tot}} =\left(\frac1{T_1}-\frac1{T_2}\right)\mathrm{d}U_1 +\left(\frac{P_1}{T_1}-\frac{P_2}{T_2}\right)\mathrm{d}V_1.$$

Vách cho phép phân bố lại năng lượng và thể tích một cách độc lập. Vì vậy tính dừng phải đúng với mọi $\mathrm dU_1$ và $\mathrm dV_1$: cả hai hệ số đều triệt tiêu. Hệ số thứ nhất buộc $T_{1,f}=T_{2,f}$; hệ số thứ hai khi đó cho $P_{1,f}/T_f=P_{2,f}/T_f$, tức $P_{1,f}=P_{2,f}$. Bảo toàn năng lượng vẫn cho $T_f=5T_1/8$. Ở cùng áp suất và nhiệt độ, thể tích tỉ lệ với lượng chất. Vì tổng bằng $2V$,

$$\frac{V_{2,f}}{V_{1,f}}=\frac{3n_1RT_f/P_f}{n_1RT_f/P_f}=3, \qquad V_{1,f}+3V_{1,f}=2V.$$

Vậy $V_{1,f}=V/2$ và $V_{2,f}=3V/2$. Áp suất chung được tính từ $P_f=n_1R(5T_1/8)/(V/2)=(5/4)P_0$, tức

$$V_{1,f}=\frac V2, \qquad V_{2,f}=\frac{3V}{2}, \qquad P_f=\frac54P_0.$$

Các độ biến thiên nội năng giống trường hợp vách cố định, nhưng ở đây năng lượng được trao đổi dưới dạng nhiệt và công. Cân bằng entropy chứa các số hạng nhiệt độ như câu 4, cộng thêm các số hạng thể tích:

$$\Delta S_1=\frac32n_1R\ln\frac58+n_1R\ln\frac{V/2}{V}, \Delta S_2=\frac92n_1R\ln\frac54+3n_1R\ln\frac{3V/2}{V}.$$

Cộng lại, ta được

$$S_{\mathrm{i}}=\Delta S_{\mathrm{tot}} =\frac32n_1R\left[ \ln\!\left(\frac58\right)+3\ln\!\left(\frac54\right) \right] +n_1R\left[ \ln\!\left(\frac12\right)+3\ln\!\left(\frac32\right) \right]>0.$$

Phần tăng thêm so với vách cố định là

$$n_1R\left[\ln\frac12+3\ln\frac32\right] =n_1R\ln\left[\frac12\left(\frac32\right)^3\right] =n_1R\ln\frac{27}{16}>0.$$

Cho phép vách chuyển động do đó làm tăng entropy cuối có thể đạt được.