Bài tập nhiệt động lực học có lời giải

Đun nóng ở áp suất không đổi: khám phá $c_{P}$

Bài tập 21 · Bài học 5 — Ứng dụng cho khí lý tưởng

nhiệt dung
áp suất không đổi
hệ thức Mayer
đun nóng đẳng áp
khí lý tưởng

Đề bài

Một mol khí lý tưởng, có nhiệt dung mol $c_{V}$ , được chứa trong một xi lanh có thể tích ban đầu $V_{0}$ . Xi lanh được đậy bằng một pít-tông đoạn nhiệt, chuyển động không ma sát và chịu áp suất ngoài không đổi $P_{0}$ . Một điện trở nằm bên trong khí truyền cho khí nhiệt lượng $Q > 0$ một cách giả tĩnh.

Vẽ sơ đồ đơn giản của hệ. Chỉ ra khí, pít-tông, điện trở, áp suất ngoài $P_{0}$ và các trao đổi năng lượng.
Không sử dụng giá trị số, hãy biểu diễn nhiệt độ ban đầu $T_{0}$ , rồi xác định trạng thái cuối $(P_{f}, V_{f}, T_{f})$ , công $W$ mà khí nhận được và độ biến thiên nội năng $Δ U$ của khí.
Từ đó suy ra nhiệt dung mol ở áp suất không đổi $c_{P} = (δ Q / d T)_{P}$ theo $c_{V}$ và $R$ .
Áp dụng số cho một khí lý tưởng đơn nguyên tử: $c_{V} = \frac{3}{2} R$ , $V_{0} = 25 L$ , $P_{0} = 1, 0 \times 1 0^{5} Pa$ , $Q = 1000 J$ và $R = 8, 314 J mo l^{- 1} K^{- 1}$ .

Gợi ý

Quá trình là đẳng áp:

W = - P_{0} Δ V

. Đối với một mol khí lý tưởng,

P_{0} Δ V = R Δ T

. Thay các hệ thức này vào nguyên lý thứ nhất.

Lời giải chi tiết

Lời giải

Câu 1. Sơ đồ phải biểu diễn khí trong một xi lanh được đậy bằng một pít-tông di động. Một mũi tên bên trong xi lanh biểu diễn nhiệt

Q

do điện trở cung cấp. Áp suất ngoài

P_{0}

tác dụng lên pít-tông, làm pít-tông dịch chuyển lên trên khi khí giãn nở. Câu 2. Phương trình trạng thái ban đầu cho

T_{0} = \frac{P _{0} V _{0}}{R} .

Áp suất không đổi, do đó $P_{f} = P_{0}$ . Ngoài ra, $W = - P_{0} Δ V = - R Δ T$ . Khi đó nguyên lý thứ nhất cho

Δ U = c_{V} Δ T = Q + W = Q - R Δ T,

từ đó

Δ T = \frac{Q}{c _{V} + R} .

Vì vậy trạng thái cuối là

P_{f} = P_{0}, T_{f} = T_{0} + \frac{Q}{c _{V} + R}, V_{f} = V_{0} + \frac{R Q}{P _{0} ( c _{V} + R )} .

Cuối cùng,

W = - \frac{R Q}{c _{V} + R}, Δ U = \frac{c _{V} Q}{c _{V} + R} .

Câu 3. Vì $Q = (c_{V} + R) Δ T$ ở áp suất không đổi,

c_{P} = c_{V} + R .

Đây là hệ thức Mayer.

Câu 4. Đối với khí đơn nguyên tử,

c_{P} = \frac{5}{2} R ≃ 20, 8 J mo l^{- 1} K^{- 1} .

Ta được

T_{0} ≃ 301 K, Δ T ≃ 48, 1 K, T_{f} ≃ 349 K, V_{f} = 29, 0 L .

Cuối cùng,

W = - 400 J, Δ U = 600 J .