Bài tập nhiệt động lực học có lời giải

Đun nóng ở áp suất không đổi: khám phá cPc_P

Bài tập 13 · Bài học 5 — Ứng dụng cho khí lý tưởng

  • nhiệt dung
  • áp suất không đổi
  • hệ thức Mayer
  • đun nóng đẳng áp
  • khí lý tưởng

Đề bài

Một mol khí lý tưởng, có nhiệt dung mol cVc_V, được chứa trong một xi lanh có thể tích ban đầu V0V_0. Xi lanh được đậy bằng một pít-tông đoạn nhiệt, chuyển động không ma sát và chịu áp suất ngoài không đổi P0P_0. Một điện trở nằm bên trong khí truyền cho khí nhiệt lượng Q>0Q>0 một cách giả tĩnh.

  1. Vẽ sơ đồ đơn giản của hệ. Chỉ ra khí, pít-tông, điện trở, áp suất ngoài P0P_0 và các trao đổi năng lượng.
  2. Không sử dụng giá trị số, hãy biểu diễn nhiệt độ ban đầu T0T_0, rồi xác định trạng thái cuối (Pf,Vf,Tf)(P_f,V_f,T_f), công WW mà khí nhận được và độ biến thiên nội năng ΔU\Delta U của khí.
  3. Từ đó suy ra nhiệt dung mol ở áp suất không đổi cP=(δQ/dT)Pc_P=(\delta Q/\mathrm{d}T)_P theo cVc_V và RR.
  4. Áp dụng số cho một khí lý tưởng đơn nguyên tử: cV=32Rc_V=\frac32R, V0=25 LV_0=25\ \mathrm{L}, P0=1,0×105 PaP_0=1{,}0\times10^5\ \mathrm{Pa}, Q=1000 JQ=1000\ \mathrm{J} và R=8,314 J mol−1 K−1R=8{,}314\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.

Gợi ý
Quá trình là đẳng áp: W=−P0 ΔVW=-P_0\,\Delta V. Đối với một mol khí lý tưởng, P0 ΔV=R ΔTP_0\,\Delta V=R\,\Delta T. Thay các hệ thức này vào nguyên lý thứ nhất.

Lời giải chi tiết

Lời giải
Câu 1. Sơ đồ phải biểu diễn khí trong một xi lanh được đậy bằng một pít-tông di động. Một mũi tên bên trong xi lanh biểu diễn nhiệt QQ do điện trở cung cấp. Áp suất ngoài P0P_0 tác dụng lên pít-tông, làm pít-tông dịch chuyển lên trên khi khí giãn nở.

Câu 2. Phương trình trạng thái ban đầu cho

T0=P0V0R.T_0=\frac{P_0V_0}{R}.

Áp suất không đổi, do đó Pf=P0P_f=P_0. Ngoài ra, W=−P0ΔV=−RΔTW=-P_0\Delta V=-R\Delta T. Khi đó nguyên lý thứ nhất cho

ΔU=cVΔT=Q+W=Q−RΔT,\Delta U=c_V\Delta T=Q+W=Q-R\Delta T,

từ đó

ΔT=QcV+R.\Delta T=\frac{Q}{c_V+R}.

Vì vậy trạng thái cuối là

Pf=P0,Tf=T0+QcV+R,Vf=V0+RQP0(cV+R).P_f=P_0,\qquad T_f=T_0+\frac{Q}{c_V+R},\qquad V_f=V_0+\frac{RQ}{P_0(c_V+R)}.

Cuối cùng,

W=−RQcV+R,ΔU=cVQcV+R.W=-\frac{RQ}{c_V+R}, \qquad \Delta U=\frac{c_VQ}{c_V+R}.

Câu 3. Vì Q=(cV+R)ΔTQ=(c_V+R)\Delta T ở áp suất không đổi,

cP=cV+R.c_P=c_V+R.

Đây là hệ thức Mayer.

Câu 4. Đối với khí đơn nguyên tử,

cP=52R≃20,8 J mol−1 K−1.c_P=\frac52R\simeq20{,}8\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.

Ta được

T0≃301 K,ΔT≃48,1 K,Tf≃349 K,Vf=29,0 L.T_0\simeq301\ \mathrm{K},\qquad \Delta T\simeq48{,}1\ \mathrm{K},\qquad T_f\simeq349\ \mathrm{K},\qquad V_f=29{,}0\ \mathrm{L}.

Cuối cùng,

W=−400 J,ΔU=600 J.W=-400\ \mathrm{J},\qquad \Delta U=600\ \mathrm{J}.