Công của một quá trình đa biến $PV^k=\text{hằng số}$

Câu 1. Hệ thức đa biến được viết là

$$PV^k=C, \qquad P(V)=CV^{-k}, \qquad C=P_AV_A^k=P_BV_B^k.$$

Theo quy ước dấu của nhà ngân hàng, công mà khí nhận được là

$$W_{A\to B} =-\int_{V_A}^{V_B}P(V)\,\mathrm{d}V =-C\int_{V_A}^{V_B}V^{-k}\,\mathrm{d}V.$$

Với $k\neq1$, một nguyên hàm của $V^{-k}$ là $V^{1-k}/(1-k)$. Do đó,

$$W_{A\to B} =-\frac{C}{1-k} \left(V_B^{1-k}-V_A^{1-k}\right) =\frac{CV_A^{1-k}-CV_B^{1-k}}{1-k}.$$

Mà

$$CV_A^{1-k}=P_AV_A, \qquad CV_B^{1-k}=P_BV_B.$$

Cuối cùng,

$$\boxed{ W_{A\to B} =\frac{P_AV_A-P_BV_B}{1-k} =\frac{P_BV_B-P_AV_A}{k-1} }.$$

Câu 2. Với $k=0$, hệ thức $PV^0=C$ trở thành $P=C$: quá trình là đẳng áp. Vì $P_A=P_B=P$,

$$W_{A\to B} =P_AV_A-P_BV_B =P(V_A-V_B) =-P(V_B-V_A) =-P\Delta V.$$

Ta thu lại đúng biểu thức trực tiếp của công đẳng áp.

Câu 3. Đối với một quá trình đẳng tích, $V_B=V_A$ và $\mathrm{d}V=0$ tại mọi thời điểm. Do đó,

$$W_{A\to B}=-\int_A^B P\,\mathrm{d}V=0.$$

Một quá trình đẳng tích không tầm thường không tương ứng với bất kỳ giá trị hữu hạn nào của $k$: nếu $V$ không đổi, hệ thức $PV^k=\text{hằng số}$ cũng buộc $P$ không đổi. Chỉ có thể xem quá trình đẳng tích là một giới hạn hình thức $k\to\infty$.

Câu 4. Với $k=1$, hàm dưới dấu tích phân tỉ lệ với $1/V$: nguyên hàm không còn là một lũy thừa mà là một logarit. Vì vậy phải tính tích phân riêng. Hệ thức đa biến trở thành

$$PV=C.$$

Đối với một lượng khí lý tưởng kín, $PV=nRT$; do đó nhiệt độ không đổi và $C=nRT$. Khi đó công nhận được là

$$W_{A\to B} =-\int_{V_A}^{V_B}\frac{nRT}{V}\,\mathrm{d}V =-nRT\ln\!\left(\frac{V_B}{V_A}\right).$$

Đối với quá trình nén, $V_B/V_A<1$, nên logarit âm và $W_{A\to B}>0$, đúng như dự kiến.