Bài tập nhiệt động lực học có lời giải

Công của một quá trình đa biến $P V^{k} = h \overset{ˋ}{\overset{a}{˘}} ng s \overset{ˊ}{\overset{o}{ˆ}}$

Bài tập 22 · Bài học 5 — Ứng dụng cho khí lý tưởng

quá trình đa biến
công của lực áp suất
định luật Laplace

Đề bài

Xét một quá trình giả tĩnh của khí lý tưởng sao cho $P V^{k} = h \overset{ˋ}{\overset{a}{˘}} ng s \overset{ˊ}{\overset{o}{ˆ}}$ , với $k \in R$ và $k \neq = 1$ .

Tính $W_{A \to B}$ theo $P_{A}, V_{A}, P_{B}, V_{B}$ và $k$ .
Suy ra lại kết quả cho quá trình đẳng áp ( $k = 0$ ).
Đại lượng này bằng bao nhiêu đối với quá trình đẳng tích (không sử dụng công thức trước đó)?
Điều gì xảy ra khi $k = 1$ ? Suy ra lại $W = - n R T ln (V_{B} / V_{A})$ .

Gợi ý

Đặt

P (V) = C V^{- k}

với

C = P_{A} V_{A}^{k}

, lấy tích phân, rồi sử dụng

C V^{1 - k} = P V

Lời giải chi tiết

Lời giải

Câu 1. Hệ thức đa biến được viết là

P V^{k} = C, P (V) = C V^{- k}, C = P_{A} V_{A}^{k} = P_{B} V_{B}^{k} .

Theo quy ước dấu của nhà ngân hàng, công mà khí nhận được là

W_{A \to B} = - \int_{V_{A}}^{V_{B}} P (V) d V = - C \int_{V_{A}}^{V_{B}} V^{- k} d V .

Với $k \neq = 1$ , một nguyên hàm của $V^{- k}$ là $V^{1 - k} / (1 - k)$ . Do đó,

W_{A \to B} = - \frac{C}{1 - k} (V_{B}^{1 - k} - V_{A}^{1 - k}) = \frac{C V _{A}^{1 - k} - C V _{B}^{1 - k}}{1 - k} .

Mà

C V_{A}^{1 - k} = P_{A} V_{A}, C V_{B}^{1 - k} = P_{B} V_{B} .

Cuối cùng,

W_{A \to B} = \frac{P _{A} V _{A} - P _{B} V _{B}}{1 - k} = \frac{P _{B} V _{B} - P _{A} V _{A}}{k - 1}

Câu 2. Với $k = 0$ , hệ thức $P V^{0} = C$ trở thành $P = C$ : quá trình là đẳng áp. Vì $P_{A} = P_{B} = P$ ,

W_{A \to B} = P_{A} V_{A} - P_{B} V_{B} = P (V_{A} - V_{B}) = - P (V_{B} - V_{A}) = - P Δ V .

Ta thu lại đúng biểu thức trực tiếp của công đẳng áp.

Câu 3. Đối với một quá trình đẳng tích,

V_{B} = V_{A}

và

d V = 0

tại mọi thời điểm. Do đó,

W_{A \to B} = - \int_{A}^{B} P d V = 0.

Một quá trình đẳng tích không tầm thường không tương ứng với bất kỳ giá trị hữu hạn nào của $k$ : nếu $V$ không đổi, hệ thức $P V^{k} = h \overset{ˋ}{\overset{a}{˘}} ng s \overset{ˊ}{\overset{o}{ˆ}}$ cũng buộc $P$ không đổi. Chỉ có thể xem quá trình đẳng tích là một giới hạn hình thức $k \to \infty$ .

Câu 4. Với

k = 1

, hàm dưới dấu tích phân tỉ lệ với

1/ V

: nguyên hàm không còn là một lũy thừa mà là một logarit. Vì vậy phải tính tích phân riêng. Hệ thức đa biến trở thành

P V = C .

Đối với một lượng khí lý tưởng kín, $P V = n R T$ ; do đó nhiệt độ không đổi và $C = n R T$ . Khi đó công nhận được là

W_{A \to B} = - \int_{V_{A}}^{V_{B}} \frac{n R T}{V} d V = - n R T ln (\frac{V _{B}}{V _{A}}) .

Đối với quá trình nén, $V_{B} / V_{A} < 1$ , nên logarit âm và $W_{A \to B} > 0$ , đúng như dự kiến.