Đun nóng một khối lượng nước: một, hai, rồi $N$ nguồn nhiệt

Câu 1. Hình vẽ nước ban đầu ở $T_i$, nguồn ở $T_f$ và mũi tên nhiệt từ nguồn tới nước. Đường biên bao quanh toàn hệ cô lập $S+\text{môi trường}$. Nước đạt $T_f$ mà không nhận công, nên nguyên lý thứ nhất cho

$$Q_{\mathrm{water}}=\Delta U_{\mathrm{water}}=mc(T_f-T_i)>0.$$

Hệ nước và nguồn cô lập: tổng năng lượng được bảo toàn,

$$\Delta U_{\mathrm{water}}+\Delta U_{\mathrm{th}}=0.$$

Vì cả hai vật đều không trao đổi công,

$$Q_{\mathrm{water}}+Q_{\mathrm{th}}=0,\qquad Q_{\mathrm{th}}=-Q_{\mathrm{water}}=-mc(T_f-T_i)<0.$$

Nhiệt lượng nguồn nhận là âm: nó truyền năng lượng cho nước.

Câu 2. Trên đường thuận nghịch từ $T_i$ tới $T_f$, nước nhận $\delta Q_{\mathrm{rev}}=mc\,\mathrm dT$. Độ biến thiên entropy là

$$\Delta S_{\mathrm{water}}=mc\int_{T_i}^{T_f}\frac{\mathrm dT}{T} =mc[\ln T]_{T_i}^{T_f}=mc\ln\frac{T_f}{T_i}>0.$$

Nguồn giữ ở $T_f$, nên

$$\Delta S_{\mathrm{th}}=\frac{Q_{\mathrm{th}}}{T_f} =-mc\frac{T_f-T_i}{T_f}<0.$$

Toàn hệ cô lập, không trao đổi entropy với phần còn lại của Vũ trụ. Toàn bộ độ biến thiên entropy do đó được sinh ra bên trong:

$$\Delta S_{\mathrm{tot}}^{(1)} =\Delta S_{\mathrm{water}}+\Delta S_{\mathrm{th}} =mc\left[\ln\frac{T_f}{T_i}-\frac{T_f-T_i}{T_f}\right]>0.$$

Thật vậy, $1/T>1/T_f$ khi $T_i\leq T<T_f$, nên $\int_{T_i}^{T_f}\mathrm dT/T>(T_f-T_i)/T_f$. Truyền nhiệt giữa hai vật khác nhiệt độ là không thuận nghịch.

Câu 3. Đặt $h=(T_f-T_i)/2$, nên $T_m-T_i=T_f-T_m=h$. Nước nhận $mc h$ ở mỗi bước. Tính cô lập của toàn hệ cho, đối với các nguồn,

$$Q_{\mathrm{th},1}=-mc h,\qquad Q_{\mathrm{th},2}=-mc h,$$

và do đó

$$\Delta S_{\mathrm{th},1}=-\frac{mc h}{T_m},\qquad \Delta S_{\mathrm{th},2}=-\frac{mc h}{T_f}.$$

Với nước, cộng hai độ biến thiên:

$$\begin{aligned} \Delta S_{\mathrm{water}} &=mc\ln\frac{T_m}{T_i}+mc\ln\frac{T_f}{T_m}\\ &=mc\bigl[(\ln T_m-\ln T_i)+(\ln T_f-\ln T_m)\bigr]\\ &=mc\ln\frac{T_f}{T_i}. \end{aligned}$$

Các số hạng trung gian triệt tiêu. Độ biến thiên entropy của nước giống hệt khi chỉ dùng một nguồn: entropy là hàm trạng thái và các trạng thái đầu, cuối của nước giống nhau trong hai thí nghiệm. Chỉ đường đi thay đổi. Với toàn hệ cô lập,

$$\Delta S_{\mathrm{tot}}^{(2)} =mc\left[\ln\frac{T_f}{T_i}-h\left(\frac1{T_m}+\frac1{T_f}\right)\right].$$

Hiệu giữa hai cân bằng là

$$\Delta S_{\mathrm{tot}}^{(1)}-\Delta S_{\mathrm{tot}}^{(2)} =mc h\left(\frac1{T_m}-\frac1{T_f}\right)>0.$$

Mỗi tiếp xúc vẫn sinh entropy, nhưng bước trung gian làm giảm tổng lượng sinh ra.

Câu 4. Đặt $T_0=T_i$ và $T_N=T_f$. Ở bước $k$, nước đi từ $T_{k-1}$ tới $T_k$ và nhận $mc h$. Nguồn tương ứng giữ ở $T_k$ và nhận

$$Q_{\mathrm{th},k}=-mc h,\qquad \Delta S_{\mathrm{th},k}=-\frac{mc h}{T_k}.$$

Đối với nước, phép tính lại có các số hạng triệt tiêu liên tiếp:

$$\begin{aligned} \Delta S_{\mathrm{water}} &=mc\sum_{k=1}^{N}\ln\frac{T_k}{T_{k-1}}\\ &=mc\left[\ln\frac{T_1}{T_0}+\ln\frac{T_2}{T_1} +\cdots+\ln\frac{T_N}{T_{N-1}}\right]\\ &=mc\ln\left(\frac{T_1}{T_0}\frac{T_2}{T_1} \cdots\frac{T_N}{T_{N-1}}\right)\\ &=mc\ln\frac{T_N}{T_0} =mc\ln\frac{T_f}{T_i}. \end{aligned}$$

Mỗi nhiệt độ trung gian xuất hiện một lần ở tử và một lần ở mẫu. Vì thế, tăng số nguồn vẫn không làm đổi độ biến thiên entropy của nước giữa cùng các trạng thái đầu, cuối. Tuy nhiên, entropy các nguồn mất phụ thuộc $N$:

$$\Delta S_{\mathrm{th}}^{(N)}=-mc\,h\sum_{k=1}^{N}\frac1{T_k},\qquad \Delta S_{\mathrm{tot}}^{(N)} =mc\left[\ln\frac{T_f}{T_i}-h\sum_{k=1}^{N}\frac1{T_k}\right].$$

Khi $N\to\infty$, $h\to0$ và tổng Riemann tiến tới

$$h\sum_{k=1}^{N}\frac1{T_k} \longrightarrow\int_{T_i}^{T_f}\frac{\mathrm dT}{T} =\ln\frac{T_f}{T_i}.$$

Vì vậy entropy sinh ra trong toàn hệ cô lập tiến tới

$$\lim_{N\to\infty}\Delta S_{\mathrm{tot}}^{(N)} =mc\left[\ln\frac{T_f}{T_i}-\ln\frac{T_f}{T_i}\right]=0.$$

Nước luôn nhận cùng một lượng entropy; ở giới hạn, các nguồn mất đúng lượng đó. Đun nóng thuận nghịch là giới hạn lý tưởng của các tiếp xúc diễn ra chậm tùy ý với chênh lệch nhiệt độ vô cùng nhỏ.