Tích phân một dạng vi phân dọc theo một đường

Câu 1. $f(x,y) = xy$ thỏa mãn vì $\partial f/\partial x = y$ và $\partial f/\partial y = x$. Câu 2. Với đường cong được tham số hóa bởi $t\mapsto\bigl(x(t),y(t)\bigr)$,

$$\int_\gamma\omega_1 = \int \left[y(t)x'(t)+x(t)y'(t)\right],\mathrm{d}t.$$

Đường $\gamma_1$ gồm hai đoạn. Trên đoạn thứ nhất, $x(t)=t$, $y(t)=0$; trên đoạn thứ hai, $x(t)=1$, $y(t)=t$; trong cả hai trường hợp $t\in[0,1]$. Do đó

$$\begin{aligned} I_1=\int_{\gamma_1}\omega_1 &= \int_0^1(0\times1+t\times0)\,\mathrm{d}t +\int_0^1(t\times0+1\times1)\,\mathrm{d}t\\ &=0+\int_0^1\mathrm{d}t=1. \end{aligned}$$

Với $\gamma_2$, đoạn thứ nhất có $x(t)=0$, $y(t)=t$, đoạn thứ hai có $x(t)=t$, $y(t)=1$, và $t\in[0,1]$. Vì vậy

$$\begin{aligned} I_2=\int_{\gamma_2}\omega_1 &= \int_0^1(t\times0+0\times1)\,\mathrm{d}t +\int_0^1(1\times1+t\times0)\,\mathrm{d}t\\ &=0+\int_0^1\mathrm{d}t=1. \end{aligned}$$

Hai giá trị trùng nhau. Có thể dự đoán điều đó mà không cần tính: vì $\omega_1=\mathrm{d}f$ với $f(x,y)=xy$, tích phân chỉ phụ thuộc vào hai đầu mút,

$$\int_\gamma\omega_1=f(M)-f(O)=f(1,1)-f(0,0)=1.$$

Câu 3. Viết $\omega_2=A(x,y)\,\mathrm{d}x+B(x,y)\,\mathrm{d}y$. Ở đây $A(x,y)=y$, $B(x,y)=0$. Nếu dạng này là toàn phần, tiêu chuẩn Schwarz đòi hỏi

$$\frac{\partial A}{\partial y}=\frac{\partial B}{\partial x}.$$

Nhưng $\partial A/\partial y=1$ còn $\partial B/\partial x=0$. Hai đạo hàm chéo khác nhau, nên $\omega_2$ không phải dạng vi phân toàn phần. Tích phân của nó có thể phụ thuộc vào đường nối $O$ và $M$, như phép tính sau xác nhận.

Câu 4. Vì $\omega_2=y\,\mathrm{d}x$, chỉ biến thiên của $x$ tại $y\ne0$ mới có thể đóng góp vào tích phân. Với các tham số hóa trên,

$$\begin{aligned} J_1=\int_{\gamma_1}\omega_2 &=\int_0^1 0\times1\,\mathrm{d}t+\int_0^1 t\times0\,\mathrm{d}t=0. \end{aligned}$$

Trên đoạn đầu của $\gamma_2$, $x(t)=0$ nên $\mathrm{d}x=0$; trên đoạn sau, $x(t)=t$, $y(t)=1$ và $\mathrm{d}x=\mathrm{d}t$. Do đó

$$\begin{aligned} J_2=\int_{\gamma_2}\omega_2 &=\int_0^1 t\times0\,\mathrm{d}t+\int_0^1 1\times1\,\mathrm{d}t=1. \end{aligned}$$

Cuối cùng, đoạn chéo $\gamma_3$ được tham số hóa bởi

$$x(t)=t,\qquad y(t)=t,\qquad t\in[0,1],$$

nên

$$J_3=\int_{\gamma_3}\omega_2 =\int_0^1y(t)x'(t)\,\mathrm{d}t =\int_0^1t\,\mathrm{d}t=\frac12.$$

Ba đường có cùng đầu mút nhưng cho $J_1=0$, $J_2=1$, $J_3=1/2$ khác nhau. Đó chính là tính phụ thuộc đường đi của một dạng vi phân không toàn phần.