Bài tập nhiệt động lực học có lời giải

Tích phân một dạng vi phân dọc theo một đường

Bài tập 6 · Bài học 4 — Định luật thứ nhất của nhiệt động lực học

  • dạng vi phân
  • vi phân toàn phần
  • tiêu chuẩn Schwarz
  • tích phân đường

Bản đang hoàn thiện — bài tập này vẫn đang được kiểm tra.

Đề bài

Xét hai dạng vi phân

ω1=y dx+x dy,ω2=y dx,\omega_1 = y\,\mathrm{d}x + x\,\mathrm{d}y, \qquad \omega_2 = y\,\mathrm{d}x,

và ba đường nối gốc O(0,0)O(0,0) với điểm M(1,1)M(1,1): đường γ1\gamma_1 gồm đoạn ngang O→(1,0)O\to(1,0) rồi đoạn đứng (1,0)→M(1,0)\to M; đường γ2\gamma_2 gồm đoạn đứng O→(0,1)O\to(0,1) rồi đoạn ngang (0,1)→M(0,1)\to M; và đường γ3\gamma_3 là đoạn thẳng nối trực tiếp OO với MM.

  1. Chứng minh ω1\omega_1 là dạng vi phân toàn phần bằng cách tìm hàm ff sao cho ω1=df\omega_1 = \mathrm{d}f.
  2. Tính ∫γ1ω1\int_{\gamma_1}\omega_1 và ∫γ2ω1\int_{\gamma_2}\omega_1 bằng cách tham số hóa từng đoạn. Suy ra lại kết quả mà không cần tính toán.
  3. Áp dụng tiêu chuẩn Schwarz cho ω2\omega_2. Có thể kết luận gì?
  4. Tính ∫γ1ω2\int_{\gamma_1}\omega_2, ∫γ2ω2\int_{\gamma_2}\omega_2 và ∫γ3ω2\int_{\gamma_3}\omega_2. Bình luận.

Gợi ý
Trên đoạn ngang dy=0\mathrm{d}y = 0, trên đoạn đứng dx=0\mathrm{d}x = 0: mỗi tích phân quy về một tích phân một biến thông thường.

Lời giải chi tiết

Lời giải
Câu 1. f(x,y)=xyf(x,y) = xy thỏa mãn vì ∂f/∂x=y\partial f/\partial x = y và ∂f/∂y=x\partial f/\partial y = x.

Câu 2. Với đường cong được tham số hóa bởi t↦(x(t),y(t))t\mapsto\bigl(x(t),y(t)\bigr),

∫γω1=∫[y(t)x′(t)+x(t)y′(t)],dt.\int_\gamma\omega_1 = \int \left[y(t)x'(t)+x(t)y'(t)\right],\mathrm{d}t.

Đường γ1\gamma_1 gồm hai đoạn. Trên đoạn thứ nhất, x(t)=tx(t)=t, y(t)=0y(t)=0; trên đoạn thứ hai, x(t)=1x(t)=1, y(t)=ty(t)=t; trong cả hai trường hợp t∈[0,1]t\in[0,1]. Do đó

I1=∫γ1ω1=∫01(0×1+t×0) dt+∫01(t×0+1×1) dt=0+∫01dt=1.\begin{aligned} I_1=\int_{\gamma_1}\omega_1 &= \int_0^1(0\times1+t\times0)\,\mathrm{d}t +\int_0^1(t\times0+1\times1)\,\mathrm{d}t\\ &=0+\int_0^1\mathrm{d}t=1. \end{aligned}

Với γ2\gamma_2, đoạn thứ nhất có x(t)=0x(t)=0, y(t)=ty(t)=t, đoạn thứ hai có x(t)=tx(t)=t, y(t)=1y(t)=1, và t∈[0,1]t\in[0,1]. Vì vậy

I2=∫γ2ω1=∫01(t×0+0×1) dt+∫01(1×1+t×0) dt=0+∫01dt=1.\begin{aligned} I_2=\int_{\gamma_2}\omega_1 &= \int_0^1(t\times0+0\times1)\,\mathrm{d}t +\int_0^1(1\times1+t\times0)\,\mathrm{d}t\\ &=0+\int_0^1\mathrm{d}t=1. \end{aligned}

Hai giá trị trùng nhau. Có thể dự đoán điều đó mà không cần tính: vì ω1=df\omega_1=\mathrm{d}f với f(x,y)=xyf(x,y)=xy, tích phân chỉ phụ thuộc vào hai đầu mút,

∫γω1=f(M)−f(O)=f(1,1)−f(0,0)=1.\int_\gamma\omega_1=f(M)-f(O)=f(1,1)-f(0,0)=1.

Câu 3. Viết ω2=A(x,y) dx+B(x,y) dy\omega_2=A(x,y)\,\mathrm{d}x+B(x,y)\,\mathrm{d}y. Ở đây A(x,y)=yA(x,y)=y, B(x,y)=0B(x,y)=0. Nếu dạng này là toàn phần, tiêu chuẩn Schwarz đòi hỏi

∂A∂y=∂B∂x.\frac{\partial A}{\partial y}=\frac{\partial B}{\partial x}.

Nhưng ∂A/∂y=1\partial A/\partial y=1 còn ∂B/∂x=0\partial B/\partial x=0. Hai đạo hàm chéo khác nhau, nên ω2\omega_2 không phải dạng vi phân toàn phần. Tích phân của nó có thể phụ thuộc vào đường nối OO và MM, như phép tính sau xác nhận.

Câu 4. Vì ω2=y dx\omega_2=y\,\mathrm{d}x, chỉ biến thiên của xx tại y≠0y\ne0 mới có thể đóng góp vào tích phân. Với các tham số hóa trên,

J1=∫γ1ω2=∫010×1 dt+∫01t×0 dt=0.\begin{aligned} J_1=\int_{\gamma_1}\omega_2 &=\int_0^1 0\times1\,\mathrm{d}t+\int_0^1 t\times0\,\mathrm{d}t=0. \end{aligned}

Trên đoạn đầu của γ2\gamma_2, x(t)=0x(t)=0 nên dx=0\mathrm{d}x=0; trên đoạn sau, x(t)=tx(t)=t, y(t)=1y(t)=1 và dx=dt\mathrm{d}x=\mathrm{d}t. Do đó

J2=∫γ2ω2=∫01t×0 dt+∫011×1 dt=1.\begin{aligned} J_2=\int_{\gamma_2}\omega_2 &=\int_0^1 t\times0\,\mathrm{d}t+\int_0^1 1\times1\,\mathrm{d}t=1. \end{aligned}

Cuối cùng, đoạn chéo γ3\gamma_3 được tham số hóa bởi

x(t)=t,y(t)=t,t∈[0,1],x(t)=t,\qquad y(t)=t,\qquad t\in[0,1],

nên

J3=∫γ3ω2=∫01y(t)x′(t) dt=∫01t dt=12.J_3=\int_{\gamma_3}\omega_2 =\int_0^1y(t)x'(t)\,\mathrm{d}t =\int_0^1t\,\mathrm{d}t=\frac12.

Ba đường có cùng đầu mút nhưng cho J1=0J_1=0, J2=1J_2=1, J3=1/2J_3=1/2 khác nhau. Đó chính là tính phụ thuộc đường đi của một dạng vi phân không toàn phần.