Bài tập nhiệt động lực học có lời giải

Công và nhiệt giữa hai trạng thái theo hai đường đi

Bài tập 11 · Bài học 5 — Ứng dụng cho khí lý tưởng

công của lực áp suất
nhiệt
đẳng nhiệt
đẳng tích
giản đồ Clapeyron
vi phân toàn phần
khí lý tưởng

Đề bài

Xét $n$ mol khí lý tưởng đơn nguyên tử, có nội năng $U=\frac{3}{2}nRT$ . Ta nối trạng thái $A(T_1,V_1)$ với trạng thái $B(T_2,V_2)$ theo hai đường đi giả tĩnh, với $P_{\mathrm{ext}}=P$ tại mọi thời điểm:

$\Gamma_1$ : một quá trình giãn nở đẳng nhiệt ở $T_1$ , từ $V_1$ đến $V_2$ , sau đó là một quá trình đẳng tích ở $V_2$ , từ $T_1$ đến $T_2$ ;
$\Gamma_2$ : một quá trình đẳng tích ở $V_1$ , từ $T_1$ đến $T_2$ , sau đó là một quá trình giãn nở đẳng nhiệt ở $T_2$ , từ $V_1$ đến $V_2$ .

Trong trường hợp $T_2>T_1$ và $V_2>V_1$ , biểu diễn các đường đi $\Gamma_1$ và $\Gamma_2$ trong giản đồ Clapeyron $(P,V)$ . Chỉ ra các trạng thái trung gian và chiều diễn biến.
Tính công nhận được $W_1$ và $W_2$ dọc theo từng đường đi. Hiệu $W_1-W_2$ bằng bao nhiêu?
Không tính lại riêng hai tích phân, hãy suy ra bằng hình học $W_1-W_2$ từ diện tích nằm giữa hai đường đi trong giản đồ Clapeyron.
Tính $\Delta U$ dọc theo từng đường đi, rồi suy ra $Q_1$ và $Q_2$ . Kết luận về bản chất của $\delta Q$ .
Áp dụng số: $n=1$ mol, $T_1=300$ K, $T_2=600$ K và $V_2=2V_1$ .

Gợi ý

Trong giản đồ Clapeyron, đường đẳng tích thẳng đứng và đường đẳng nhiệt của khí lý tưởng thỏa mãn

P=nRT/V

. Đường đẳng nhiệt ở nhiệt độ

T_2

nằm phía trên đường ở nhiệt độ

T_1

. Quá trình đẳng tích không đóng góp vào công của lực áp suất. Đối với câu 3, công mà khí nhận được bằng đối của diện tích đại số nằm dưới đường đi trong giản đồ

(P,V)

Lời giải chi tiết

Lời giải

Câu 1. Ký hiệu

C

là trạng thái trung gian của đường đi

\Gamma_1

và

D

là trạng thái trung gian của đường đi

\Gamma_2

. Áp suất và thể tích của chúng là

\begin{aligned} A&=\left(\frac{nRT_1}{V_1},V_1\right),& C&=\left(\frac{nRT_1}{V_2},V_2\right),\\ D&=\left(\frac{nRT_2}{V_1},V_1\right),& B&=\left(\frac{nRT_2}{V_2},V_2\right). \end{aligned}

Vì $T_2>T_1$ , đường đẳng nhiệt $T_2$ nằm phía trên đường đẳng nhiệt $T_1$ . Đường đi $\Gamma_1$ được vẽ từ $A$ đến $C$ , sang phải dọc theo đường đẳng nhiệt thấp hơn $T_1$ , rồi thẳng đứng từ $C$ đến $B$ dọc theo đường đẳng tích $V_2$ . Đường đi $\Gamma_2$ trước hết đi thẳng đứng lên từ $A$ đến $D$ dọc theo đường đẳng tích $V_1$ , rồi sang phải từ $D$ đến $B$ dọc theo đường đẳng nhiệt cao hơn $T_2$ . Do đó các mũi tên của hai đường đi là

\Gamma_1:A\xrightarrow{\,T=T_1\,}C\xrightarrow{\,V=V_2\,}B, \qquad \Gamma_2:A\xrightarrow{\,V=V_1\,}D\xrightarrow{\,T=T_2\,}B.

Các đường đi _1 và _2 trong giản đồ Clapeyron. Các đường cong màu xám là phần kéo dài của các đường đẳng nhiệt T_1 và T_2. — Hình 1. Các đường đi $\Gamma_1$ và $\Gamma_2$ trong giản đồ Clapeyron. Các đường cong màu xám là phần kéo dài của các đường đẳng nhiệt $T_1$ và $T_2$ .

Câu 2. Theo quy ước công mà khí nhận được, $\delta W=-P\,\mathrm{d}V$ . Quá trình đẳng tích không đóng góp và trên một đường đẳng nhiệt ở nhiệt độ $T$ ,

W=-\int_{V_1}^{V_2}\frac{nRT}{V}\,\mathrm{d}V =-nRT\ln\frac{V_2}{V_1}.

Do đó ta được

W_1=-nRT_1\ln\frac{V_2}{V_1}, \qquad W_2=-nRT_2\ln\frac{V_2}{V_1},

rồi

W_1-W_2 =nR(T_2-T_1)\ln\frac{V_2}{V_1}\neq 0.

Trạng thái đầu và cuối giống nhau, nhưng công khác nhau: $\delta W$ không phải là một vi phân toàn phần.

Câu 3. Các đường đẳng tích không quét bất kỳ diện tích nào. Vì công nhận được bằng đối của diện tích dưới đường cong, hiệu $W_1-W_2$ là diện tích nằm giữa hai đường đẳng nhiệt $T_2$ và $T_1$ :

W_1-W_2 =\int_{V_1}^{V_2}\left(\frac{nRT_2}{V}-\frac{nRT_1}{V}\right)\mathrm{d}V =nR(T_2-T_1)\ln\frac{V_2}{V_1}>0.

Ta thu lại đúng kết quả của câu 2.

Câu 4. Nội năng của khí lý tưởng đơn nguyên tử chỉ phụ thuộc vào nhiệt độ. Do đó độ biến thiên của nó giống nhau trên hai đường đi:

\Delta U=U_B-U_A=\frac{3}{2}nR(T_2-T_1).

Nguyên lý thứ nhất, $\Delta U=W+Q$ , cho $Q=\Delta U-W$ , từ đó

\begin{aligned} Q_1&=\frac{3}{2}nR(T_2-T_1) +nRT_1\ln\frac{V_2}{V_1},\\ Q_2&=\frac{3}{2}nR(T_2-T_1) +nRT_2\ln\frac{V_2}{V_1}. \end{aligned}

Do đó,

Q_2-Q_1=nR(T_2-T_1)\ln\frac{V_2}{V_1}\neq 0.

Nhiệt trao đổi cũng phụ thuộc vào đường đi: $\delta Q$ không phải là một vi phân toàn phần, trái với $\mathrm{d}U$ .

Câu 5. Với $\ln 2\simeq0{,}693$ ,

\begin{aligned} W_1&\simeq-1{,}73\ \mathrm{kJ},& W_2&\simeq-3{,}46\ \mathrm{kJ},\\ \Delta U&\simeq3{,}74\ \mathrm{kJ},& Q_1&\simeq5{,}47\ \mathrm{kJ},& Q_2&\simeq7{,}20\ \mathrm{kJ}. \end{aligned}

Khí sinh công nhiều gấp đôi trong quá trình $\Gamma_2$ và nhận thêm một lượng nhiệt tương ứng.