Bài tập nhiệt động lực học có lời giải

Bài tập lý thuyết: các định luật Laplace

Bài tập 10 · Bài học 5 — Ứng dụng cho khí lý tưởng

  • bài tập lý thuyết
  • định luật Laplace
  • chỉ số đoạn nhiệt
  • gamma
  • giãn nở đoạn nhiệt
  • nguyên lý thứ nhất dạng vi phân

Đề bài

Xét nn mol khí lý tưởng có chỉ số đoạn nhiệt γ=cP/cV\gamma = c_P/c_V được giả sử không đổi. Hệ được giả sử là hệ kín. Ta thừa nhận hệ thức Mayer cP−cV=Rc_P - c_V = R (xem bài tập về việc khám phá cPc_P).

  1. Chứng minh rằng cV=Rγ−1,cP=γRγ−1.c_V = \frac{R}{\gamma - 1}, \qquad c_P = \frac{\gamma R}{\gamma - 1}.
  2. Khí trải qua một quá trình đoạn nhiệt giả tĩnh, trong đó giả sử Pext=PP_{\text{ext}} = P. Xuất phát từ nguyên lý thứ nhất ở dạng vi phân, chứng minh rằng dTT+(γ−1)dVV=0,\frac{\mathrm{d}T}{T} + (\gamma - 1)\frac{\mathrm{d}V}{V} = 0, rồi suy ra TVγ−1=ha˘ˋng soˆˊTV^{\gamma-1} = \text{hằng số} dọc theo quá trình.
  3. Từ đó suy ra hai dạng còn lại của định luật Laplace: PVγ=ha˘ˋng soˆˊPV^\gamma = \text{hằng số} và TγP1−γ=ha˘ˋng soˆˊT^\gamma P^{1-\gamma} = \text{hằng số}.
  4. Xét một quá trình giãn nở như vậy làm thể tích của khí đơn nguyên tử tăng gấp đôi (γ=5/3\gamma = 5/3), với n=1n = 1 mol, ở nhiệt độ ban đầu Ti=300T_i = 300 K. Tính TfT_f, rồi ΔT\Delta T và WW, đồng thời bình luận về dấu của ΔT\Delta T và WW.
  5. Trong giản đồ Clapeyron (P,V)(P,V), tại cùng một điểm, so sánh độ dốc của một đường đoạn nhiệt như vậy với độ dốc của một đường đẳng nhiệt.

Gợi ý
Đối với câu 2: dU=ncV dT\mathrm{d}U = n c_V\,\mathrm{d}T và δW=−P dV\delta W = -P\,\mathrm{d}V với P=nRT/VP = nRT/V, rồi tách biến. Đối với câu 5, lấy vi phân PVγ=ha˘ˋng soˆˊPV^\gamma = \text{hằng số} và PV=ha˘ˋng soˆˊPV = \text{hằng số}.

Lời giải chi tiết

Lời giải
Câu 1. Từ cP=γcVc_P = \gamma c_V và cP−cV=Rc_P - c_V = R, ta được cV(γ−1)=Rc_V(\gamma - 1) = R, từ đó có hai công thức.

Câu 2. Đoạn nhiệt: δQ=0\delta Q = 0, do đó dU=δW\mathrm{d}U = \delta W, tức là ncV dT=−P dV=−nRTVdVn c_V\,\mathrm{d}T = -P\,\mathrm{d}V = -\dfrac{nRT}{V}\mathrm{d}V. Với cV=R/(γ−1)c_V = R/(\gamma-1):

dTT=−(γ−1)dVV.\frac{\mathrm{d}T}{T} = -(\gamma-1)\frac{\mathrm{d}V}{V}.

Lấy tích phân: ln⁡T+(γ−1)ln⁡V=ha˘ˋng soˆˊ\ln T + (\gamma-1)\ln V = \text{hằng số}, tức là TVγ−1=ha˘ˋng soˆˊTV^{\gamma-1} = \text{hằng số}.

Câu 3. Thay T=PV/(nR)T = PV/(nR), ta được PVγ=ha˘ˋng soˆˊPV^\gamma = \text{hằng số} vì nn không đổi. Thay V=nRT/PV = nRT/P, ta được T(TP)γ−1=ha˘ˋng soˆˊT \left(\frac{T}{P}\right)^{\gamma-1} = \text{hằng số}, và do đó TγP1−γ=ha˘ˋng soˆˊT^\gamma P^{1-\gamma} = \text{hằng số}.

Câu 4. Cách đơn giản nhất là sử dụng định luật Laplace TVγ−1=ha˘ˋng soˆˊT V^{\gamma - 1} = \text{hằng số}, cho: TiViγ−1=TfVfγ−1T_i V_i^{\gamma - 1} = T_f V_f^{\gamma - 1}, tức là Tf=Ti 2−(γ−1)=300×2−2/3≈189T_f = T_i\,2^{-(\gamma-1)} = 300 \times 2^{-2/3} \approx 189 K. Cần lưu ý phải dùng nhiệt độ theo kelvin trong phép tính này để tránh sai sót! Ta suy ra ΔT=Tf−Ti≈−111\Delta T = T_f-T_i \approx -111 K. Đối với công, vì Q=0Q = 0:

W=ΔU=32RΔT≈32×8,314×(−111)≈−1,4 kJ.W = \Delta U = \tfrac{3}{2}R\Delta T \approx \tfrac{3}{2}\times 8{,}314 \times (-111) \approx -1{,}4\ \text{kJ}.

W<0W < 0: khí sinh công cho bên ngoài trong quá trình giãn nở. Vì không thể lấy năng lượng từ bất kỳ nguồn nhiệt nào (Q=0Q=0), khí lấy năng lượng từ nội năng của mình, do đó bị làm lạnh với ΔT<0\Delta T < 0.

Câu 5. Lấy vi phân PV=ha˘ˋng soˆˊPV = \text{hằng số}: (dPdV)đẳng nhiệt=−PV\left(\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}V}\right)_{\text{đẳng nhiệt}} = -\dfrac{P}{V}. Lấy vi phân PVγ=ha˘ˋng soˆˊPV^\gamma = \text{hằng số}: (dPdV)đoạn nhiệt=−γPV\left(\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}V}\right)_{\text{đoạn nhiệt}} = -\gamma\dfrac{P}{V}. Đường đoạn nhiệt dốc gấp γ\gamma lần đường đẳng nhiệt: nén mà không thải nhiệt làm áp suất tăng nhanh hơn vì nhiệt độ cũng tăng.