Chu trình làm lạnh hình chữ nhật?

Câu 1. Các điểm $A$, $B$, $C$ và $D$ lần lượt nằm ở phía dưới bên trái, phía dưới bên phải, phía trên bên phải và phía trên bên trái. Các nhánh $A\to B$ và $C\to D$ là đẳng áp; $B\to C$ và $D\to A$ là đẳng tích. Chiều diễn biến $A\to B\to C\to D\to A$ là ngược chiều kim đồng hồ.

Câu 2. Công mà khí nhận được là

$$W=-\int P_{\mathrm{ext}}\mathrm{d}V.$$

Công bằng không trên các đường đẳng tích $B\to C$ và $D\to A$. Trên hai đường đẳng áp,

$$W_{AB}=-P_1(V_2-V_1)=-P_1\Delta V,W_{CD}=-P_2(V_1-V_2)=P_2\Delta V.$$

Do đó,

$$\boxed{W_{\mathrm{cycle}}=(-P_1+P_2)\Delta V=\Delta P\Delta V>0}$$

Giá trị này đúng bằng diện tích hình chữ nhật trong giản đồ Clapeyron.

Câu 3. Đối với khí lý tưởng đơn nguyên tử,

$$\Delta U=n{c}_V\Delta T=\frac{3}{2}nR\Delta T.$$

Trên đường đẳng áp, phương trình trạng thái cho $nR\Delta T=P\Delta V_{\mathrm{branch}}$. Do đó,

$$\Delta U_{AB}=\frac{3}{2}{P}_1\Delta V,\Delta U_{CD}=-\frac{3}{2}{P}_2\Delta V.$$

Trên đường đẳng tích, phương trình này cho $nR\Delta T=V\Delta P_{\mathrm{branch}}$, từ đó

$$\Delta U_{BC}=\frac{3}{2}{V}_2\Delta P,\Delta U_{DA}=-\frac{3}{2}{V}_1\Delta P.$$

Cuối cùng, nguyên lý thứ nhất $\Delta U=Q+W$, tức là $Q=\Delta U-W$, cho bảng tổng kết:

$$\begin{array}{r}\begin{array}{cccc}\text{Nhaˊnh}& W& \Delta U& Q=\Delta U-W\\ A\to B& -P_1\Delta V& \frac{3}{2}{P}_1\Delta V& \frac{5}{2}{P}_1\Delta V\\ B\to C& 0& \frac{3}{2}{V}_2\Delta P& \frac{3}{2}{V}_2\Delta P\\ C\to D& P_2\Delta V& -\frac{3}{2}{P}_2\Delta V& -\frac{5}{2}{P}_2\Delta V\\ D\to A& 0& -\frac{3}{2}{V}_1\Delta P& -\frac{3}{2}{V}_1\Delta P\end{array}\end{array}$$

Câu 4. Tổng các biến thiên nội năng bằng không, như đối với mọi hàm trạng thái trên một chu trình. Do đó nguyên lý thứ nhất cho

$$Q_{\mathrm{cycle}}=-W_{\mathrm{cycle}}=-\Delta P\Delta V<0.$$

Tổng cộng khí nhận công: đây là chu trình nhận công. Theo bảng, khí nhận nhiệt trên $A\to B$ và $B\to C$, và truyền nhiệt đi trên $C\to D$ và $D\to A$:

$$Q_{\mathrm{in}}=Q_{AB}+Q_{BC}=\frac{5}{2}{P}_1\Delta V+\frac{3}{2}{V}_2\Delta P,Q_{\mathrm{out}}=-(Q_{CD}+Q_{DA})=\frac{5}{2}{P}_2\Delta V+\frac{3}{2}{V}_1\Delta P.$$

Trừ hai biểu thức, với $P_2-P_1=\Delta P$ và $V_2-V_1=\Delta V$, ta được

$$Q_{\mathrm{out}}-Q_{\mathrm{in}}=\frac{5}{2}\Delta P\Delta V-\frac{3}{2}\Delta P\Delta V=\Delta P\Delta V=W_{\mathrm{cycle}},$$

do đó

$$\boxed{Q_{\mathrm{out}}=Q_{\mathrm{in}}+W_{\mathrm{cycle}}}$$

Trên một chu trình, khí thải ra dưới dạng nhiệt toàn bộ năng lượng đã nhận, gồm cả nhiệt và công.

Câu 5. Phương trình trạng thái cho $T=PV/(nR)$ tại mỗi đỉnh:

$$T_A=\frac{P_1{V}_1}{nR},T_B=\frac{P_1{V}_2}{nR},T_C=\frac{P_2{V}_2}{nR},T_D=\frac{P_2{V}_1}{nR}.$$

Vì $P_1<P_2$ và $V_1<V_2$, tích $PV$ nhỏ nhất tại $A$ và lớn nhất tại $C$: $T_A$ là nhiệt độ thấp nhất của chu trình, $T_C$ là cao nhất, còn $T_B$ và $T_D$ nằm ở giữa.

Trên đường đẳng áp $A\to B$, $V$ tăng ở áp suất không đổi nên $T$ tăng từ $T_A$ đến $T_B$. Trên đường đẳng tích $B\to C$, $P$ tăng ở thể tích không đổi nên $T$ tăng từ $T_B$ đến $T_C$. Tương tự, $T$ giảm từ $T_C$ xuống $T_D$ trên $C\to D$, rồi từ $T_D$ xuống $T_A$ trên $D\to A$. Vậy khí nhận nhiệt trong khi nhiệt độ của nó tăng từ giá trị thấp nhất $T_A$ đến giá trị cao nhất $T_C$, và truyền nhiệt đi trong khi nhiệt độ giảm trở lại từ $T_C$ xuống $T_A$. Câu 6. Để nhận nhiệt, khí phải tiếp xúc với các nguồn ít nhất cũng nóng bằng nó; trong giới hạn tựa tĩnh, nhiệt độ của các nguồn đi theo nhiệt độ của khí. Do đó các nguồn cung cấp nhiệt cho khí có nhiệt độ trải từ $T_A$ đến $T_C$, nhiệt độ cao nhất của chu trình. Ngược lại, các nguồn nhận nhiệt từ khí có nhiệt độ trải từ $T_C$ xuống $T_A$, nhiệt độ thấp nhất của chu trình. Như vậy không có phía lạnh và phía nóng tách biệt: khí lấy nhiệt từ những nguồn rất nóng và truyền nhiệt cho những nguồn rất lạnh. Chu trình này không thể dùng làm tủ lạnh, vốn phải lấy nhiệt ở những nhiệt độ thấp nhất và thải nhiệt ở những nhiệt độ cao nhất. Nó nhận công và trả lại toàn bộ dưới dạng nhiệt ($Q_{\mathrm{cycle}}=-W_{\mathrm{cycle}}$), đồng thời phân bố lại nhiệt giữa các nguồn có nhiệt độ khác nhau. Ngược lại, một tủ lạnh phải hấp thụ nhiệt trên những phần lạnh nhất của chu trình và thải nhiệt trên những phần nóng nhất. Đó là trường hợp của chu trình Carnot chạy theo chiều ngược, được nghiên cứu ở Bài 6: khí nhận nhiệt dọc theo đường đẳng nhiệt lạnh và thải nhiệt dọc theo đường đẳng nhiệt nóng. Vì vậy, một chu trình nhận công chưa chắc đã là chu trình làm lạnh. Câu 7. Ở đây $\Delta P=2,0\times 10^5$ Pa và $\Delta V=1,0\times 10^{-2}$ m${}^3$:

$$\begin{array}{r}\begin{array}{crrr}\text{Nhaˊnh}& W(\mathrm{J})& \Delta U(\mathrm{J})& Q(\mathrm{J})\\ A\to B& -1000& 1500& 2500\\ B\to C& 0& 4500& 4500\\ C\to D& 3000& -4500& -7500\\ D\to A& 0& -1500& -1500\end{array}\end{array}$$

Vậy $W_{\mathrm{cycle}}=+2000\mathrm{J}$, $Q_{\mathrm{cycle}}=-2000\mathrm{J}$ và $\Delta U_{\mathrm{cycle}}=0$. Nhiệt nhận vào là $Q_{\mathrm{in}}=2500+4500=7000\mathrm{J}$ và nhiệt truyền đi là $Q_{\mathrm{out}}=7500+1500=9000\mathrm{J}=Q_{\mathrm{in}}+W_{\mathrm{cycle}}$. Các tỉ số nhiệt độ không phụ thuộc vào $n$:

$$\frac{T_B}{T_A}=\frac{V_2}{V_1}=3,\frac{T_C}{T_A}=\frac{P_2{V}_2}{P_1{V}_1}=9,\frac{T_D}{T_A}=\frac{P_2}{P_1}=3.$$

Nếu nhiệt độ thấp nhất của chu trình là nhiệt độ của một ngăn lạnh, chẳng hạn $T_A=270\mathrm{K}$, thì khí phải nhận nhiệt từ các nguồn có nhiệt độ lên tới $T_C=9T_A\simeq 2400\mathrm{K}$. Hiển nhiên một chu trình như vậy không làm lạnh ngăn đó.