Chu trình làm lạnh hình chữ nhật

Câu 1. Các điểm $A$, $B$, $C$ và $D$ lần lượt nằm ở phía dưới bên trái, phía dưới bên phải, phía trên bên phải và phía trên bên trái. Các nhánh $A\to B$ và $C\to D$ là đẳng áp; $B\to C$ và $D\to A$ là đẳng tích. Chiều diễn biến $A\to B\to C\to D\to A$ là ngược chiều kim đồng hồ.

Câu 2. Công mà khí nhận được là

$$W=-\int P_{\mathrm{ext}}\,\mathrm dV.$$

Công bằng không trên các đường đẳng tích $B\to C$ và $D\to A$. Trên hai đường đẳng áp,

$$W_{AB}=-P_1(V_2-V_1)=-P_1\Delta V, \qquad W_{CD}=-P_2(V_1-V_2)=P_2\Delta V.$$

Do đó,

$$\boxed{W_{\mathrm{cycle}} =(-P_1+P_2)\Delta V =\Delta P\,\Delta V>0}.$$

Giá trị này đúng bằng diện tích hình chữ nhật trong giản đồ Clapeyron.

Câu 3. Đối với khí lý tưởng đơn nguyên tử,

$$\Delta U=nc_V\Delta T=\frac32nR\Delta T.$$

Trên đường đẳng áp, phương trình trạng thái cho $nR\Delta T=P\Delta V_{\mathrm{branche}}$. Do đó,

$$\Delta U_{AB}=\frac32P_1\Delta V, \qquad \Delta U_{CD}=-\frac32P_2\Delta V.$$

Trên đường đẳng tích, phương trình này cho $nR\Delta T=V\Delta P_{\mathrm{branche}}$, từ đó

$$\Delta U_{BC}=\frac32V_2\Delta P, \qquad \Delta U_{DA}=-\frac32V_1\Delta P.$$

Cuối cùng, nguyên lý thứ nhất $\Delta U=Q+W$, tức là $Q=\Delta U-W$, cho bảng tổng kết:

$$\begin{aligned} \begin{array}{c|c|c|c} \text{Nhánh} & W & \Delta U & Q=\Delta U-W\\ \hline A\to B & -P_1\Delta V & \frac32P_1\Delta V & \frac52P_1\Delta V\\[2pt] B\to C & 0 & \frac32V_2\Delta P & \frac32V_2\Delta P\\[2pt] C\to D & P_2\Delta V & -\frac32P_2\Delta V & -\frac52P_2\Delta V\\[2pt] D\to A & 0 & -\frac32V_1\Delta P & -\frac32V_1\Delta P \end{array} \end{aligned}$$

Câu 4. Tổng các độ biến thiên nội năng bằng không. Do đó nguyên lý thứ nhất đòi hỏi

$$Q_{\mathrm{cycle}}=-W_{\mathrm{cycle}}=-\Delta P\,\Delta V<0.$$

Về tổng thể, khí nhận công: đây là chu trình nhận công. Khí nhận nhiệt trên $A\to B$ và $B\to C$. Trên hai nhánh này, khí lấy nhiệt từ các nguồn lạnh mà nó tiếp xúc: vì vậy chính các nguồn bên ngoài này (chẳng hạn khoang và thực phẩm trong tủ lạnh), chứ không phải bản thân khí tuần hoàn, là những vật được làm lạnh.

Trên $C\to D$ và $D\to A$, ngược lại, khí truyền nhiệt cho các nguồn nóng, chẳng hạn không khí trong phòng. Ký hiệu $Q_{\mathrm{chaud}}>0$ là tổng nhiệt mà các nguồn này nhận được,

$$Q_{\mathrm{chaud}} =-(Q_{CD}+Q_{DA}) =\frac52P_2\Delta V+\frac32V_1\Delta P.$$

Nhờ công mà khí nhận được, chu trình truyền nhiệt từ các nguồn lạnh sang các nguồn nóng.

Câu 5. Nhiệt mà khí lấy đi bằng

$$Q_f =Q_{AB}+Q_{BC} =\frac52P_1\Delta V+\frac32V_2\Delta P.$$

Ta suy ra

$$\boxed{ \mathrm{COP} =\frac{\frac52P_1\Delta V+\frac32V_2\Delta P} {\Delta P\,\Delta V}. }$$

Câu 6. COP đo hiệu quả làm lạnh thu được so với công đầu tư: COP bằng $k$ nghĩa là mỗi joule công được cung cấp cho phép lấy đi $k$ joule nhiệt từ các nguồn lạnh.

Trái với hiệu suất của một động cơ nhiệt, COP không phải là phần năng lượng nhận được được chuyển hóa thành công. Khí đồng thời nhận công $W_{\mathrm{in}}$ và nhiệt $Q_f$ lấy từ các nguồn lạnh, rồi thải tổng của chúng sang các nguồn nóng:

$$\boxed{Q_{\mathrm{chaud}}=Q_f+W_{\mathrm{in}}}.$$

Do đó không có lý do gì để $Q_f$ phải nhỏ hơn $W_{\mathrm{in}}$, và COP hoàn toàn có thể lớn hơn 1 mà không mâu thuẫn với định luật bảo toàn năng lượng.

Câu 7. Ở đây $\Delta P=2{,}0\times10^5$ Pa và $\Delta V=1{,}0\times10^{-2}$ m$^3$:

$$\begin{aligned} \begin{array}{c|r|r|r} \text{Nhánh} & W\ (\mathrm J) & \Delta U\ (\mathrm J) & Q\ (\mathrm J)\\ \hline A\to B & -1000 & 1500 & 2500\\ B\to C & 0 & 4500 & 4500\\ C\to D & 3000 & -4500 & -7500\\ D\to A & 0 & -1500 & -1500 \end{array} \end{aligned}$$

Do đó $W_{\mathrm{cycle}}=+2000$ J, $Q_{\mathrm{cycle}}=-2000$ J và $\Delta U_{\mathrm{cycle}}=0$. Nhiệt lấy đi bằng

$$Q_f=2500+4500=7000\ \mathrm{J},$$

trong khi nhiệt truyền cho các nguồn nóng bằng

$$Q_{\mathrm{chaud}}=7500+1500=9000\ \mathrm{J} =Q_f+W_{\mathrm{cycle}}.$$

Do đó hệ số hiệu quả (COP) của máy lạnh là

$$\mathrm{COP}=\frac{7000}{2000}=3{,}5.$$