حرارتی حرکیات کی حل شدہ مشق

لچکدار تار کو کھینچنا

مشق 12 · سبق 4 — حرارتی حرکیات کا پہلا اصول

عمومی کام
لچکدار تار
کشش
پہلا اصول

سوال

ایک تار، جس کی بے بار لمبائی $L_{0}$ ہے، ہسٹریسس کے بغیر آہستہ آہستہ $L_{A}$ سے $L_{B}$ تک کھینچا جاتا ہے، جہاں $L_{0} \leq L_{A} < L_{B}$ ۔ زیرِ مطالعہ دائرے میں اس کا توازنی تناؤ اس قانون کی پیروی کرتا ہے:

F = K (L - L_{0}),

جہاں $K > 0$ ایک مستقل سختی ہے جو درجۂ حرارت پر منحصر نہیں۔ ہر مرحلے پر بیرونی کشش تار کے تناؤ کو متوازن رکھتی ہے۔ اندرونی توانائی کا یہ نمونہ اختیار کیا جاتا ہے:

U (T, L) = C (T - T_{⋆}) + \frac{1}{2} K (L - L_{0})^{2} + U_{⋆},

جہاں $C$ ایک مستقل کل حرارتی گنجائش ہے اور $T_{⋆}, U_{⋆}$ مقررہ حوالہ قدریں ہیں۔ حرکی توانائی اور ثقلی وضعی توانائی کی تبدیلیاں قابلِ نظرانداز ہیں۔

تار، اس کا مقررہ نقطہ، متحرک سرا اور بیرونی کششی قوت کی شکل بنائیں۔ تبدیلی $d L$ کے لیے وصول کردہ ابتدائی کام لکھیں، پھر $W_{A \to B}$ کا حساب کریں۔
کھنچاؤ ہم دما ہے۔ اس نمونے میں $Δ U$ اور وصول کردہ حرارت $Q_{A \to B}$ کا حساب کریں۔ کیا ہم دما تبدیلی عمومی طور پر $Δ U = 0$ لازم کرتی ہے؟
تار کو کشش کے اسی قانون کے مطابق $L_{B}$ سے واپس $L_{A}$ تک لایا جاتا ہے۔ اس واپسی پر اور آنے جانے کے پورے چکر پر وصول کردہ کام کا حساب کریں۔ اس نتیجے کا یہ مطلب کیوں نہیں کہ ہر کام حالت کا تفاعل ہے؟

اشارہ

δ W = F_{ext} d L

استعمال کریں اور متغیر قوت کا تکمل لیں۔ پھر

Δ U = Q + W

کی مدد سے نمونے سے حاصل ہونے والے اندرونی توانائی کے فرق سے موازنہ کریں۔

تفصیلی حل

حل

سوال 1۔ شکل میں بایاں سرا مقرر ہے۔ دائیں سرے پر دائیں طرف کشش لگتی ہے؛ اس کا ہٹاؤ

d L

ہے۔ تار لمبا ہو تو اس کا وصول کردہ کام مثبت ہوتا ہے:

δ W = F_{ext} d L = K (L - L_{0}) d L .

قوت مستقل نہیں۔ اس لیے یہ حساب کرنا ہوگا:

W_{A \to B} = \int_{L_{A}}^{L_{B}} K (L - L_{0}) d L = [\frac{K}{2} (L - L_{0})^{2}]_{L_{A}}^{L_{B}} = \frac{K}{2} [(L_{B} - L_{0})^{2} - (L_{A} - L_{0})^{2}] > 0.

سختی کی اکائی $N m^{- 1}$ ہے، لہٰذا $K (L - L_{0})^{2}$ کی اکائی $N m$ یعنی جول ہے۔

سوال 2۔ چونکہ

T_{B} = T_{A}

، حرارتی حد نہیں بدلتی۔ حوالہ مستقلات بھی منسوخ ہو جاتے ہیں، لہٰذا

Δ U = C (T_{B} - T_{A}) + \frac{K}{2} [(L_{B} - L_{0})^{2} - (L_{A} - L_{0})^{2}] = W_{A \to B} .

پھر پہلا اصول دیتا ہے $Q_{A \to B} = Δ U - W_{A \to B} = 0$ ۔ اس مثالی نمونے میں وصول کردہ کام لچکدار توانائی کی صورت میں ذخیرہ ہوتا ہے۔ درجۂ حرارت مستقل رہتا ہے مگر اندرونی توانائی بڑھتی ہے: لہٰذا ہم دما ہونا $Δ U = 0$ لازم نہیں کرتا۔ نتیجہ $Q = 0$ یہاں اختیار کیے گئے نمونے پر منحصر ہے اور تمام مادوں پر لاگو نہیں ہوتا۔

سوال 3۔ حدود الٹنے سے تکمل کی علامت بدل جاتی ہے:

W_{B \to A} = \int_{L_{B}}^{L_{A}} K (L - L_{0}) d L = [\frac{K}{2} (L - L_{0})^{2}]_{L_{B}}^{L_{A}} = - W_{A \to B} .

لہٰذا آنے جانے کے پورے چکر پر وصول کردہ کام صفر ہے۔ تار ذخیرہ شدہ کام واپس لوٹا دیتا ہے۔ یہاں عائد قانون کام کو لچکدار توانائی کی تبدیلی کے برابر بنا دیتا ہے، جو $L$ کا تفاعل ہے۔ یہ اس ہسٹریسس سے پاک نمونے اور تبدیلیوں کے اس خاندان کی خاصیت ہے، کام کی منتقلیوں کی کوئی عمومی خاصیت نہیں۔