ایک یکساں ثقلی کرہ جوڑنا

رداس $R$ کے ایک کرے میں کمیت $M$ یکساں طور پر پھیلی ہوئی ہے، جس کی کثافت ${\rho }_m$ ہے۔ ہم اس کی ثقلی وضعی توانائی $U_{\mathrm{grav}}$ کا حساب کرنا چاہتے ہیں، اس صفر حوالے کے ساتھ کہ جب اس کے کمیتی اجزا ایک دوسرے سے لامتناہی فاصلے پر ہوں تو توانائی صفر ہو۔

تصور کریں کہ کرہ ہم مرکز تہوں کی صورت میں جوڑا جاتا ہے اور کثافت ہر مرحلے پر یکساں رہتی ہے۔ جس مرحلے پر رداس $r$ تک پہنچتا ہے، اس وقت تک جوڑی گئی کمیت $M(r)$ ہے، اور لامتناہی فاصلے سے کمیت $\mathrm{d}M$ کا ایک خول لایا جاتا ہے۔ تسلیم کیا جاتا ہے کہ اندرونی کمیت کا اس کی سطح پر پیدا کردہ پوٹینشل $-GM(r)/r$ ہے۔ حساب صرف ثقلی توانائی کا ہے؛ کرے کا کوئی میکانی توازن فرض نہیں کیا گیا۔

1. پہلے سے جوڑا گیا کرہ اور $r$ اور $r+\mathrm{d}r$ کے درمیان شامل کیا گیا خول بنائیں۔ ${\rho }_m$، $M(r)$ اور $\mathrm{d}M$ کو $M,R,r$ اور $\mathrm{d}r$ کی صورت میں لکھیں۔
2. اندرونی کرے کے ساتھ خول کے تعامل کی توانائی لکھیں، پھر تکمل لے کر $U_{\mathrm{grav}}$ حاصل کریں۔ کیا نتیجے کو دو سے تقسیم کرنا چاہیے؟
3. کرے میں کمیت $m$ کے $N$ اجزا ہیں، اور $M=Nm$۔ مقررہ کثافت ${\rho }_m$ پر $R$ کو $N$ کی صورت میں لکھیں، پھر $U_{\mathrm{grav}}$ اور $U_{\mathrm{grav}}/N$ کا $N$ پر انحصار معلوم کریں۔
4. $2N$ اجزا والے ایک کرے کی توانائی کا موازنہ $N$، $N$ اجزا والے دو ایسے کروں کی توانائیوں کے مجموعے سے کریں جو ایک دوسرے سے لامتناہی فاصلے پر ہوں، اور سب کی کثافت یکساں ہو۔ فرق کی علامت اور امتدادیت پر تبصرہ کریں۔