حرارتی حرکیات کی حل شدہ مشق

منتقلی، دوران اور حرارتی ہلچل

مشق 14 · سبق 4 — حرارتی حرکیات کا پہلا اصول

کونِگ کا مسئلہ
دوران
حرکی توانائی
اندرونی توانائی
رگڑ

سوال

$N$ ذرات کا ایک نظام، جن کی کمیتیں $m_{i}$ ہیں، کل کمیت $M$ رکھتا ہے، اور اس کے مرکزِ کمیت کا مقام $R$ اور رفتار $V$ ہے۔ $ρ_{i} = r_{i} - R$ لکھ کر رفتاروں کو یوں تقسیم کرتے ہیں:

v_{i} = V + ω \times ρ_{i} + u_{i}^{'} .

مجموعی زاویائی رفتار $ω$ اس طرح منتخب کی جاتی ہے کہ باقی ماندہ حرکت کوئی مجموعی زاویائی معیارِ حرکت نہ رکھے:

i \sum m_{i} u_{i}^{'} = 0, i \sum m_{i} ρ_{i} \times u_{i}^{'} = 0 .

یہ مماثلت تسلیم کی جاتی ہے: $\sum_{i} m_{i} ∣ ω \times ρ_{i} ∣^{2} = ω \cdot I_{CM} ω$ ، جہاں $I_{CM}$ مرکزِ کمیت کے لحاظ سے جمود کا ٹینسر ہے۔

$E_{c} = \frac{1}{2} \sum_{i} m_{i} v_{i}^{2}$ کو پھیلائیں اور دکھائیں کہ تینوں مخلوط حدیں صفر ہیں۔ اس سے منتقلی، مجموعی دوران اور باقی ماندہ حرکت میں تقسیم اخذ کریں۔
اس قرارداد میں، جس میں مجموعی منتقلی اور دوران کو میکروسکوپک حرکتیں شمار کیا جاتا ہے، کون سی حرکی توانائی اندرونی توانائی میں شامل ہوتی ہے؟ کیا صرف حرارتی ہلچل باقی رکھنے کے لیے مرکزِ کمیت کے حوالہ فریم میں جانا کافی ہے؟
کمیت $M$ اور رداس $R$ کی ایک یکساں قرص، جس کا محور مقرر ہے، ابتدا میں زاویائی رفتار $ω_{0}$ سے گھومتی ہے۔ اس کا جمودی معیارِ اثر $I = M R^{2} /2$ ہے۔ ایک بریک اسے روک دیتا ہے۔ قرص اور بریک کا نظام حرارتی طور پر محصور ہے؛ اس کے ساکن سہارے کوئی کام فراہم نہیں کرتے۔ ضائع ہونے والی ساری توانائی اسی نظام میں رہتی ہے، جس کی کل حرارتی گنجائش مستقل $C$ ہے۔ اس کی اندرونی توانائی کی تبدیلی اور درجۂ حرارت میں اضافہ معلوم کریں۔
$M = 2, 0 kg$ ، $R = 0, 10 m$ ، $ω_{0} = 100 rad s^{- 1}$ اور $C = 500 J K^{- 1}$ کے لیے تبدیل ہونے والی توانائی اور درجۂ حرارت میں اضافے کا حساب کریں۔ کیا اس توانائی نے حرارت کی صورت میں نظام کی سرحد پار کی ہے؟

اشارہ

\sum_{i} m_{i} ρ_{i} = 0

اور مخلوط ضرب کی مماثلت

(ω \times ρ_{i}) \cdot u_{i}^{'} = ω \cdot (ρ_{i} \times u_{i}^{'})

استعمال کریں۔ بریک لگنے کے دوران

U + E_{c}^{macro}

محفوظ رکھیں۔

تفصیلی حل

حل

سوال 1۔ مرکزِ کمیت کی تعریف سے

\sum_{i} m_{i} r_{i} = M R

۔ نتیجتاً

i \sum m_{i} ρ_{i} = i \sum m_{i} r_{i} - M R = 0 .

ہر مربع کو پھیلانے سے

E_{c} = \frac{1}{2} M V^{2} + \frac{1}{2} i \sum m_{i} ∣ ω \times ρ_{i} ∣^{2} + \frac{1}{2} i \sum m_{i} u_{i}^{'}^{2} + V \cdot (ω \times i \sum m_{i} ρ_{i}) + V \cdot i \sum m_{i} u_{i}^{'} + i \sum m_{i} (ω \times ρ_{i}) \cdot u_{i}^{'} .

پہلی مخلوط حد مرکزِ کمیت کی تعریف سے صفر ہو جاتی ہے۔ دوسری اس لیے صفر ہے کہ باقی ماندہ معیارِ حرکت صفر ہے۔ تیسری کے لیے مخلوط ضرب دیتی ہے

i \sum m_{i} (ω \times ρ_{i}) \cdot u_{i}^{'} = ω \cdot i \sum m_{i} (ρ_{i} \times u_{i}^{'}) = 0.

جمود کے ٹینسر کے لیے دی گئی مماثلت کے ساتھ باقی رہتا ہے

E_{c} = \frac{1}{2} M V^{2} + \frac{1}{2} ω \cdot I_{CM} ω + \frac{1}{2} i \sum m_{i} u_{i}^{'}^{2}

سوال 2۔ اس قرارداد میں اندرونی توانائی میں حرکی حصہ آخری حد، $\frac{1}{2} \sum_{i} m_{i} u_{i}^{'}^{2}$ ، ہے۔ اندرونی توانائی میں اندرونی وضعی توانائیاں اور ممکنہ دوسرے اندرونی درجاتِ آزادی بھی شامل ہیں۔ مرکزِ کمیت کے حوالہ فریم میں جانے سے منتقلی کی حد ختم ہو جاتی ہے، لیکن مجموعی دوران کی حد باقی رہتی ہے۔ چنانچہ مقرر محور کے گرد گھومتی قرص میکروسکوپک حرکی توانائی رکھتی ہے، چاہے اس کا مرکزِ کمیت ساکن ہو۔

سوال 3۔ قرص اور بریک کے نظام کی سرحد پار کرنے والی حرارت اور کام صفر ہیں۔ سہاروں کی قوتیں زاویائی معیارِ حرکت منتقل کر سکتی ہیں، لیکن ان کے ساکن نقاطِ اطلاق کوئی کام منتقل نہیں کرتے۔ میکروسکوپک توانائی کی کسی اور تبدیلی کو نظرانداز کرتے ہوئے بقا دیتی ہے

Δ U + Δ E_{rotation} = 0.

قرص رک جاتی ہے، لہٰذا $Δ E_{rotation} = 0 - \frac{1}{2} I ω_{0}^{2}$ ۔ نتیجتاً

Δ U = \frac{1}{2} I ω_{0}^{2} = \frac{1}{4} M R^{2} ω_{0}^{2} > 0.

اندرونی حرارتی توازن قائم ہو جانے کے بعد مستقل حرارتی گنجائش کا نمونہ $Δ U = C (T_{f} - T_{i})$ دیتا ہے، یعنی

T_{f} - T_{i} = \frac{M R ^{2} ω _{0}^{2}}{4 C} .

رگڑ منظم حرکت کی توانائی کو نظام کے اندر ہی اندرونی توانائی میں بدل دیتی ہے۔

سوال 4۔ جمودی معیارِ اثر

I = 2, 0 (0, 10)^{2} /2 = 0, 010 kg m^{2}

ہے۔ حاصل ہوتا ہے

Δ U = \frac{1}{2} (0, 010) (100)^{2} = 50 J, T_{f} - T_{i} = \frac{50}{500} = 0, 10 K .

نظام گرم ہو جاتا ہے حالانکہ $Q = 0$ : اس توانائی نے حرارت کی صورت میں اس کی سرحد پار نہیں کی۔ یہ ابتدا میں دورانی حرکی توانائی کی صورت میں موجود تھی۔