ایک باردار کرہ اور امتدادیت کا سوال

کل بار $\mathcal{Q}>0$ خلا میں رداس $R$ کے ایک کرے کے حجم میں یکساں طور پر پھیلا ہوا ہے۔ کچھ قیود اس تقسیم کو برقرار رکھتی ہیں؛ یہاں صرف اس کی برق سکونی توانائی $U_{\mathrm{el}}$ شمار کی جاتی ہے۔ یہ کوئی موصل کرہ نہیں، جس کے بار توازن میں سطح پر جمع ہو جاتے۔

تقسیم کو لامتناہی فاصلے سے باردار خول لا کر جوڑا جاتا ہے۔ رداس $r$ کی ایک گیند میں پہلے سے جوڑے گئے بار $\mathcal{Q}(r)$ کے لیے سطح پر پوٹینشل $\Phi (r)=k_e\mathcal{Q}(r)/r$ ہے، جہاں $k_e=1/(4\pi {\epsilon }_0)$۔ جب بار کے اجزا ایک دوسرے سے لامتناہی فاصلے پر ہوں تو توانائی صفر ہے۔

1. جوڑنے کا ایک مرحلہ بنائیں۔ $\mathcal{Q}(r)$ اور $\mathrm{d}\mathcal{Q}$ کو $\mathcal{Q},R,r$ اور $\mathrm{d}r$ کی صورت میں لکھیں، پھر $U_{\mathrm{el}}$ کا حساب کریں۔
2. یکساں بار $q_0$ والے $N$ اجزا کے ایک مسلسل نمونے میں $\mathcal{Q}=N{q}_0$ رکھیں۔ ذرات کی مقررہ کثافت پر $R=r_0{N}^{1/3}$ لکھیں اور توانائی کا $N$ پر انحصار معلوم کریں۔ اس کی علامت اور درجۂ یکسانیت کا کششِ ثقل والی صورت سے موازنہ کریں۔
3. مقررہ کل بار پر $R_A$ سے $R_B>R_A$ تک پھیلاؤ کے دوران توانائی کی تبدیلی کا حساب کریں۔ اگر یہ پھیلاؤ نیم ساکن اور ضیاع کے بغیر ہو تو وصول کردہ بیرونی کام کی علامت کیا ہے؟ اس کام کا اظہار صرف برقی حصہ ظاہر کرتا ہے۔
4. مختلف علامتوں کے باروں کے لیے خردبینی تعامل کی توانائی یوں لکھی جاتی ہے $$U_{\mathrm{el}}=k_e\sum _{i<j}\frac{q_i{q}_j}{r_{ij}}.$$

   صرف ایک علامت کے بار والے کرے کے لیے حاصل شدہ قانون یہ کیوں ثابت نہیں کرتا کہ تمام عام مادہ غیر امتدادی ہے؟ کیا کل بار کا صفر ہونا اس مجموعے کو صفر کرنے کے لیے کافی ہے؟