کارکردگی اور ضریبِ کارکردگی: کلاؤزیئس کی عدم مساوات سے کارنو کی حدیں

سوال 1۔ تینوں طرزِ عمل منتقلیوں کی حقیقی سمت سے ایک دوسرے سے ممتاز ہوتے ہیں۔

• انجن کے طور پر سیال گرم ذخیرے سے حرارت لیتا ہے، کچھ حرارت سرد ذخیرے کو دیتا ہے اور کام فراہم کرتا ہے: $Q_{\mathrm{H}}>0$، $Q_{\mathrm{C}}<0$ اور $W<0$۔
• ریفریجریٹر اور ہیٹ پمپ دونوں صورتوں میں سیال کام وصول کرتا ہے، سرد ذخیرے سے حرارت لیتا ہے اور گرم ذخیرے کو حرارت دیتا ہے: $W>0$، $Q_{\mathrm{C}}>0$ اور $Q_{\mathrm{H}}<0$۔ دونوں مشینیں ایک جیسی ہیں؛ صرف مطلوبہ خدمت بدلتی ہے: سرد ذخیرے کو ٹھنڈا کرنا یا گرم ذخیرے کو گرم کرنا۔

ایک چکر میں سیال اپنی ابتدائی حالت میں لوٹ آتا ہے، لہٰذا اس کی اندرونی توانائی نہیں بدلتی: $\Delta U=0$۔ پہلا اصول $\Delta U=Q+W$ تینوں صورتوں میں دیتا ہے

$$Q_{\mathrm{H}}+Q_{\mathrm{C}}+W=0.$$

سوال 2۔ انجن کے طور پر $W<0$، لہٰذا $|W|=-W$۔ پہلا اصول $-W=Q_{\mathrm{H}}+Q_{\mathrm{C}}$ دیتا ہے، اس لیے

$$\eta =\frac{-W}{Q_{\mathrm{H}}}=\frac{Q_{\mathrm{H}}+Q_{\mathrm{C}}}{Q_{\mathrm{H}}}=1+\frac{Q_{\mathrm{C}}}{Q_{\mathrm{H}}}.$$

ریفریجریٹر یا ہیٹ پمپ کے طور پر $W>0$ اور پہلا اصول $W=-Q_{\mathrm{H}}-Q_{\mathrm{C}}$ دیتا ہے۔ چونکہ $Q_{\mathrm{H}}<0$، ہمارے پاس $|Q_{\mathrm{H}}|=-Q_{\mathrm{H}}$ ہے۔ یوں

$${\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}=\frac{Q_{\mathrm{C}}}{-Q_{\mathrm{H}}-Q_{\mathrm{C}}},{\mathrm{COP}}_{\mathrm{HP}}=\frac{-Q_{\mathrm{H}}}{-Q_{\mathrm{H}}-Q_{\mathrm{C}}}.$$

چونکہ $-Q_{\mathrm{H}}=W+Q_{\mathrm{C}}$،

$${\mathrm{COP}}_{\mathrm{HP}}=\frac{W+Q_{\mathrm{C}}}{W}=1+\frac{Q_{\mathrm{C}}}{W}=1+{\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}.$$

انجن کے طور پر $Q_{\mathrm{C}}<0$ اور $Q_{\mathrm{H}}>0$، لہٰذا $Q_{\mathrm{C}}/Q_{\mathrm{H}}<0$ اور $\eta <1$: فراہم کردہ کام وصول کردہ حرارت سے زیادہ نہیں ہو سکتا، اور اس کی ضمانت کے لیے پہلا اصول ہی کافی ہے۔ اس کے برعکس ضریبِ کارکردگی $1$ سے بڑھ سکتا ہے: ہیٹ پمپ جو حرارت دیتا ہے اسے پیدا نہیں کرتا، بلکہ ٹھنڈے سے گرم کی طرف منتقل کرتا ہے، اور وصول کردہ کام اس کا محض ایک حصہ ہے۔ بلکہ ہمیشہ ${\mathrm{COP}}_{\mathrm{HP}}>1$، کیونکہ ${\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}>0$۔

سوال 3۔ سیال صرف دو ذخائر سے حرارت کا تبادلہ کرتے ہوئے ایک چکر طے کرتا ہے۔ کلاؤزیئس کی عدم مساوات یہ ہے:

$$\frac{Q_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{H}}}+\frac{Q_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{C}}}\le 0,$$

جس میں مساوات اس وقت اور صرف اسی وقت ہے جب چکر قابلِ برگشت ہو۔ سرد حد کو الگ کر کے $T_{\mathrm{C}}>0$ سے ضرب دیں، جس سے عدم مساوات کی سمت نہیں بدلتی:

$$\frac{Q_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{C}}}\le -\frac{Q_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{H}}}⟹Q_{\mathrm{C}}\le -Q_{\mathrm{H}}\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}.$$

انجن کے طور پر $Q_{\mathrm{H}}>0$: $Q_{\mathrm{H}}$ سے تقسیم کریں، جس سے عدم مساوات کی سمت پھر بھی برقرار رہتی ہے،

$$\frac{Q_{\mathrm{C}}}{Q_{\mathrm{H}}}\le -\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}.$$

سوال 2 کے اظہار میں رکھنے سے

$$\eta =1+\frac{Q_{\mathrm{C}}}{Q_{\mathrm{H}}}\le 1-\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}.$$

مساوات اس وقت اور صرف اسی وقت حاصل ہوتی ہے جب کلاؤزیئس کی عدم مساوات مساوات بن جائے، یعنی قابلِ برگشت چکر کے لیے: یوں عامل سیال کے بارے میں کسی مفروضے کے بغیر کارنو کا پہلا اور تیسرا مسئلہ دوبارہ حاصل ہوتے ہیں۔ آخر میں، $\eta =1$ کے لیے $Q_{\mathrm{C}}=0$ درکار ہوگا؛ تب کلاؤزیئس کی عدم مساوات $Q_{\mathrm{H}}/T_{\mathrm{H}}\le 0$ بن جاتی، جو $Q_{\mathrm{H}}>0$ کے منافی ہے۔ یہی کیلون–پلانک کا بیان ہے: انجن کو لازماً سرد ذخیرے کو کچھ حرارت دینی ہوتی ہے۔

سوال 4۔ اس بار کلاؤزیئس کی عدم مساوات سے گرم حد کو الگ کر کے شروع کریں، پھر $T_{\mathrm{H}}>0$ سے ضرب دیں:

$$\frac{Q_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{H}}}\le -\frac{Q_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{C}}}⟹Q_{\mathrm{H}}\le -Q_{\mathrm{C}}\frac{T_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{C}}}⟹-Q_{\mathrm{H}}\ge Q_{\mathrm{C}}\frac{T_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{C}}},$$

جہاں منفی مقداروں پر جانے سے عدم مساوات کی سمت الٹ جاتی ہے۔ دونوں اطراف میں $-Q_{\mathrm{C}}$ جمع کریں اور $W=-Q_{\mathrm{H}}-Q_{\mathrm{C}}$ استعمال کریں:

$$W\ge Q_{\mathrm{C}}\left(\frac{T_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{C}}}-1\right)=Q_{\mathrm{C}}\frac{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{C}}}.$$

دونوں اطراف مثبت ہیں۔ $W>0$ سے تقسیم کریں، پھر $T_{\mathrm{C}}/(T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}})>0$ سے ضرب دیں:

$$1\ge \frac{Q_{\mathrm{C}}}{W}\frac{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{C}}}⟹{\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}=\frac{Q_{\mathrm{C}}}{W}\le \frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}.$$

سوال 2 کے تعلق کے ساتھ،

$${\mathrm{COP}}_{\mathrm{HP}}=1+{\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}\le 1+\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}=\frac{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}+T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}=\frac{T_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}.$$

انجن کی طرح یہ حدیں بھی صرف قابلِ برگشت مشین ہی حاصل کر سکتی ہے۔

سوال 5۔ جب $T_{\mathrm{C}}\to T_{\mathrm{H}}$، کارکردگی کی حد $1-T_{\mathrm{C}}/T_{\mathrm{H}}$ صفر کی طرف جاتی ہے: درجۂ حرارت کے فرق کے بغیر کوئی کام پیدا نہیں ہو سکتا۔ اس کے برعکس دونوں COP کی حدیں، جن کا نسب نما $T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}$ صفر کی طرف جاتا ہے، لامتناہی کی طرف جاتی ہیں: ایک ہی درجۂ حرارت والے دو اجسام کے درمیان حرارت منتقل کرنے پر، قابلِ برگشت حد میں، کوئی کام خرچ نہیں ہوتا۔ جب $T_{\mathrm{C}}\to 0$، کارکردگی کی حد $1$ کی طرف جاتی ہے، اور ${\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}$ کی حد صفر کی طرف: زیادہ سے زیادہ ٹھنڈے جسم سے حرارت نکالنے پر فی نکالے گئے جول زیادہ سے زیادہ کام خرچ ہوتا ہے: مطلق صفر کی طرف ٹھنڈا کرنا بڑھتے ہوئے طور پر مہنگا ہوتا جاتا ہے۔ سوال 6۔ ریفریجریٹر کے لیے

$${\mathrm{COP}}_{\mathrm{R},\max }=\frac{278}{293-278}=\frac{278}{15}\approx 18,5.$$

فریزر کے لیے

$${\mathrm{COP}}_{\mathrm{R},\max }=\frac{255}{293-255}=\frac{255}{38}\approx 6,7.$$

نکالی گئی حرارت کے فی جول خرچ ہونے والا کام $W/Q_{\mathrm{C}}=1/{\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}$ ہے۔ لہٰذا دونوں کم از کم اخراجات کی نسبت $18,5/6,7\approx 2,8$ ہے: مثالی ہونے کے باوجود فریزر اتنی ہی حرارت نکالنے کے لیے ریفریجریٹر سے تقریباً تین گنا زیادہ کام خرچ کرتا ہے، کیونکہ اسے طے کیا جانے والا درجۂ حرارت کا فرق دو گنا سے بھی زیادہ ہے۔ حقیقی، ناقابلِ برگشت آلات ان حدوں سے واضح طور پر نیچے رہتے ہیں۔