حرارتی حرکیات کی حل شدہ مشق

ایک نمونہ بنیادی تعلق: حالتی مساواتیں، اویلر اور گبز–ڈوہیم

مشق 37 · سبق 7 — ریاضیاتی ساخت: بنیادی تعلقات

بنیادی تعلق
اینٹروپی کی نمائندگی
توانائی کی نمائندگی
حالتی مساواتیں
امتدادیت
اویلر کا تعلق
گبز-ڈوہیم کا تعلق
کیمیائی پوٹینشل

سوال

متغیر ذرات کی تعداد $N$ والا ایک سادہ نظام لیں، جس کا اینٹروپی کی نمائندگی میں بنیادی تعلق یہ ہے:

S (U, V, N) = A (N V)^{1/4} U^{1/2},

جہاں $A > 0$ ایک مستقل ہے اور $U > 0$ ، $V > 0$ اور $N > 0$ ۔ یہ درسی نمونہ کسی حقیقی مادے کو بیان نہیں کرتا؛ اس سے ایک مکمل طور پر قابلِ حساب مثال پر سبق میں قائم کی گئی عمومی خصوصیات جانچی جا سکتی ہیں۔ تفرقی بنیادی تعلق یاد رہے:

d S = \frac{1}{T} d U + \frac{P}{T} d V - \frac{μ}{T} d N .

دکھائیں کہ یہ تعلق امتدادی ہے، یعنی $S$ ، $(U, V, N)$ کا درجہ ایک کا متجانس تفاعل ہے۔ جانچیں کہ $S$ ، $U$ کا بڑھتا ہوا تفاعل ہے اور اس سے درجۂ حرارت کی علامت اخذ کریں۔
اینٹروپی کی نمائندگی میں تین حالتی مساواتیں $1/ T$ ، $P / T$ اور $μ / T$ ، $U$ ، $V$ اور $N$ کی صورت میں نکالیں۔
بنیادی تعلق کو الٹ کر $U (S, V, N)$ حاصل کریں۔ پھر توانائی کی نمائندگی میں $T$ ، $P$ اور $μ$ کو $S$ ، $V$ اور $N$ کی صورت میں نکالیں، اور جانچیں کہ سوال 2 کے نتائج دوبارہ ملتے ہیں۔
اویلر کا تعلق $U = T S - P V + μ N$ جانچیں، پھر اینٹروپی کی نمائندگی میں اس کی صورت $S = U / T + P V / T - μ N / T$ ۔
$s = S / N$ اور $v = V / N$ رکھیں۔ $T$ ، $P$ اور $μ$ کو $s$ اور $v$ کی صورت میں لکھیں، پھر دکھائیں کہ $μ = - P v$ ۔ $s$ اور $v$ کو حذف کر کے $μ$ کو صرف $T$ اور $P$ کی صورت میں حاصل کریں۔
اس نتیجے پر گبز–ڈوہیم کا تعلق $S d T - V d P + N d μ = 0$ جانچیں۔ شدتی متغیرات $T$ ، $P$ اور $μ$ کے لیے اس کا کیا مطلب ہے؟

اشارہ

تعلق کو الٹنے کے لیے

S = A (N V)^{1/4} U^{1/2}

کا مربع لیں۔ توانائی کی نمائندگی میں

T = (\partial U / \partial S)_{V, N}

P = - (\partial U / \partial V)_{S, N}

اور

μ = (\partial U / \partial N)_{S, V}

۔ سوال 6 کے لیے گبز–ڈوہیم کا تعلق

d μ = - s d T + v d P

کے مساوی ہے۔

تفصیلی حل

حل

سوال 1۔ تینوں متغیرات کو

λ > 0

سے ضرب دیں:

S (λ U, λV, λ N) = A (λ N \cdot λV)^{1/4} (λ U)^{1/2} = A λ^{1/2} (N V)^{1/4} λ^{1/2} U^{1/2} = λ S (U, V, N) .

لہٰذا $S$ درجہ ایک کا متجانس ہے: تعلق امتدادی ہے۔ مقررہ $V$ اور $N$ پر $S$ ، $U^{1/2}$ کے متناسب ہے، جو $U$ کا سختی سے بڑھتا ہوا تفاعل ہے۔ لہٰذا اس کا مشتق $(\partial S / \partial U)_{V, N} = 1/ T$ مثبت ہے، اور $T > 0$ ۔

سوال 2۔

S = A N^{1/4} V^{1/4} U^{1/2}

کا ہر متغیر کے لحاظ سے، باقی دو کو مقرر رکھ کر، تفرق کریں:

\frac{1}{T} = (\frac{\partial S}{\partial U})_{V, N} = \frac{A}{2} (N V)^{1/4} U^{- 1/2}, \frac{P}{T} = (\frac{\partial S}{\partial V})_{U, N} = \frac{A}{4} N^{1/4} V^{- 3/4} U^{1/2}, - \frac{μ}{T} = (\frac{\partial S}{\partial N})_{U, V} = \frac{A}{4} N^{- 3/4} V^{1/4} U^{1/2} ⟹ \frac{μ}{T} = - \frac{A}{4} N^{- 3/4} V^{1/4} U^{1/2} .

لہٰذا اس نمونے کا کیمیائی پوٹینشل منفی ہے۔

سوال 3۔ تعلق کا مربع لینے پر

S^{2} = A^{2} (N V)^{1/2} U

، لہٰذا

U (S, V, N) = \frac{S ^{2}}{A ^{2} N V} = \frac{S ^{2}}{A ^{2}} N^{- 1/2} V^{- 1/2} .

جزوی مشتقات دیتے ہیں

T = (\frac{\partial U}{\partial S})_{V, N} = \frac{2 S}{A ^{2} N V}, P = - (\frac{\partial U}{\partial V})_{S, N} = \frac{S ^{2}}{2 A ^{2}} N^{- 1/2} V^{- 3/2}, μ = (\frac{\partial U}{\partial N})_{S, V} = - \frac{S ^{2}}{2 A ^{2}} N^{- 3/2} V^{- 1/2} .

درجۂ حرارت کے لیے سوال 2 سے مطابقت جانچیں۔ $U = S^{2} / (A^{2} N V)$ کے ساتھ $U^{1/2} = S / (A (N V)^{1/4})$ ، لہٰذا

\frac{1}{T} = \frac{A}{2} (N V)^{1/4} \cdot \frac{A ( N V ) ^{1/4}}{S} = \frac{A ^{2} N V}{2 S},

جو واقعی $T = 2 S / (A^{2} N V)$ کا معکوس ہے۔ دباؤ کے لیے $P / T$ کو $T$ سے ضرب دیں:

P = \frac{2 S}{A ^{2} N V} \cdot \frac{A}{4} N^{1/4} V^{- 3/4} \cdot \frac{S}{A ( N V ) ^{1/4}} = \frac{S ^{2}}{2 A ^{2}} N^{- 1/2} V^{- 3/2} .

اسی طرح

μ = - \frac{2 S}{A ^{2} N V} \cdot \frac{A}{4} N^{- 3/4} V^{1/4} \cdot \frac{S}{A ( N V ) ^{1/4}} = - \frac{S ^{2}}{2 A ^{2}} N^{- 3/2} V^{- 1/2} .

دونوں نمائندگیاں واقعی یکساں حالتی مساواتیں دیتی ہیں۔

سوال 4۔ سوال 3 اور

U = S^{2} / (A^{2} N V)

کی مدد سے ہر حد کا حساب کریں:

T S = \frac{2 S ^{2}}{A ^{2} N V} = 2 U, P V = \frac{S ^{2}}{2 A ^{2} N V} = \frac{U}{2}, μ N = - \frac{S ^{2}}{2 A ^{2} N V} = - \frac{U}{2} .

یوں

T S - P V + μ N = 2 U - \frac{U}{2} - \frac{U}{2} = U,

جو اویلر کا تعلق ہے۔ اینٹروپی کی نمائندگی میں

\frac{U}{T} + \frac{P V}{T} - \frac{μ N}{T} = \frac{U + P V - μ N}{T} = \frac{U + U /2 + U /2}{T} = \frac{2 U}{T} .

مگر $T S = 2 U$ ، لہٰذا $2 U / T = S$ : اویلر کا تعلق دونوں نمائندگیوں میں پورا ہوتا ہے۔ یہ نتیجہ اتفاقی نہیں: یہ اویلر کے مسئلے سے نکلتا ہے، کیونکہ $S$ درجہ ایک کا متجانس ہے۔

سوال 5۔ سوال 3 کے اظہارات میں

S = N s

اور

V = N v

رکھیں۔ چونکہ

N V = N v

T = \frac{2 N s}{A ^{2} N v} = \frac{2 s}{A ^{2} v}, P = \frac{N ^{2} s ^{2}}{2 A ^{2}} \cdot N^{- 1/2} \cdot N^{- 3/2} v^{- 3/2} = \frac{s ^{2}}{2 A ^{2} v ^{3/2}}, μ = - \frac{N ^{2} s ^{2}}{2 A ^{2}} \cdot N^{- 3/2} \cdot N^{- 1/2} v^{- 1/2} = - \frac{s ^{2}}{2 A ^{2} v} .

شدتی مقداریں صرف فی ذرہ مقداروں $s$ اور $v$ پر منحصر ہیں، جیسا کہ امتدادیت کا تقاضا ہے۔ $P$ اور $μ$ کا موازنہ کرنے پر

P v = \frac{s ^{2}}{2 A ^{2} v ^{3/2}} v = \frac{s ^{2}}{2 A ^{2} v} = - μ, یعنی μ = - P v .

اب $s$ اور $v$ کو حذف کریں۔ $T$ کا اظہار $s = \frac{1}{2} A^{2} T v$ دیتا ہے۔ اسے $P$ میں رکھنے سے:

P = \frac{1}{2 A ^{2} v ^{3/2}} \cdot \frac{A ^{4} T ^{2} v}{4} = \frac{A ^{2} T ^{2}}{8 v} ⟹ v = \frac{A ^{2} T ^{2}}{8 P} ⟹ v = \frac{A ^{4} T ^{4}}{64 P ^{2}} .

پھر

s = \frac{1}{2} A^{2} T v = \frac{1}{2} A^{2} T \cdot \frac{A ^{2} T ^{2}}{8 P} = \frac{A ^{4} T ^{3}}{16 P} .

آخر میں،

μ = - P v = - P \cdot \frac{A ^{4} T ^{4}}{64 P ^{2}} = - \frac{A ^{4} T ^{4}}{64 P} .

سوال 6۔ گبز–ڈوہیم کے تعلق کو $N$ سے تقسیم کرنے پر یہ $d μ = - s d T + v d P$ کی صورت لیتا ہے۔ لہٰذا یہ لازم کرتا ہے

(\frac{\partial μ}{\partial T})_{P} = - s, (\frac{\partial μ}{\partial P})_{T} = v .

$μ (T, P) = - A^{4} T^{4} / (64 P)$ کا تفرق لیں۔ مقررہ $P$ پر

(\frac{\partial μ}{\partial T})_{P} = - \frac{4 A ^{4} T ^{3}}{64 P} = - \frac{A ^{4} T ^{3}}{16 P} = - s .

مقررہ $T$ پر، چونکہ $1/ P$ کا مشتق $- 1/ P^{2}$ ہے،

(\frac{\partial μ}{\partial P})_{T} = \frac{A ^{4} T ^{4}}{64 P ^{2}} = v .

دونوں مساواتیں پوری ہوتی ہیں۔ گبز–ڈوہیم کے تعلق کا مطلب یہ ہے کہ تینوں شدتی متغیرات $T$ ، $P$ اور $μ$ آزاد نہیں: ایک ہی نوع کے یکساں مرحلے میں $μ$ پوری طرح $T$ اور $P$ سے متعین ہوتا ہے۔ صرف دو شدتی درجاتِ آزادی ہیں۔