حرارتی حرکیات کی حل شدہ مشق

مستقل اینٹروپی پر پھیلاؤ اور بنیادی تعلق کی تشکیلِ نو

مشق 38 · سبق 7 — ریاضیاتی ساخت: بنیادی تعلقات

بنیادی تعلق
مستقل اینٹروپی پر پھیلاؤ
حالتی مساواتیں
اینٹروپی کی نمائندگی
تکمل پذیری کی شرط
مولی مقداریں

سوال

حصہ A۔ ایک نظام کو یہ مولی بنیادی تعلق بیان کرتا ہے:

u = \frac{A}{v} e^{s / (3 R)},

جہاں $u$ ، $v$ اور $s$ بالترتیب مولی اندرونی توانائی، مولی حجم اور مولی اینٹروپی ہیں، $A > 0$ ایک مستقل ہے اور $R$ مثالی گیسوں کا مستقل ہے۔ ابتدائی حالت درجۂ حرارت $T_{0}$ اور دباؤ $P_{0}$ سے متعین ہے۔

$T$ اور $P$ کو $u$ اور $v$ کی صورت میں لکھیں۔ اس سے $P$ ، $v$ اور $T$ کو مربوط کرنے والی حالتی مساوات اخذ کریں۔
نظام کو مستقل اینٹروپی پر اس وقت تک پھیلایا جاتا ہے جب تک اس کا دباؤ آٹھ گنا کم نہ ہو جائے۔ آخری درجۂ حرارت کو صرف $T_{0}$ کی صورت میں لکھیں۔

حصہ B۔ مادے کی مقررہ مقدار والا ایک دوسرا نظام ان دو حالتی مساواتوں کی پیروی کرتا ہے:

U = 2 P V, P = B T^{3},

جہاں $B > 0$ ایک مستقل ہے۔

$1/ T$ اور $P / T$ کو $U$ اور $V$ کی صورت میں لکھیں۔
بنیادی تعلق $S (U, V)$ صرف اسی صورت میں موجود ہو سکتا ہے جب مخلوط مشتقات برابر ہوں: $\partial (1/ T) / \partial V = \partial (P / T) / \partial U$ ۔ یہ شرط جانچیں۔
ایک مستقل کی حد تک بنیادی تعلق $S (U, V)$ معلوم کریں۔ جانچیں کہ یہ واقعی دونوں حالتی مساواتیں دوبارہ دیتا ہے، پھر یہ کہ یہ امتدادی ہے۔

اشارہ

حصہ A:

T = (\partial u / \partial s)_{v}

اور

P = - (\partial u / \partial v)_{s}

؛ مستقل اینٹروپی والے راستے پر

s

مقرر ہے اور ہر چیز

v

کی صورت میں ظاہر ہوتی ہے۔ حصہ B:

d S = (1/ T) d U + (P / T) d V

۔ پہلے مقررہ

V

پر

(\partial S / \partial U)_{V} = 1/ T

کا تکمل لیں اور ایک تفاعل

f (V)

شامل کریں، پھر

(\partial S / \partial V)_{U} = P / T

کی مدد سے

f

معلوم کریں۔

تفصیلی حل

حل

سوال 1۔ مقررہ

v

پر

s

کے لحاظ سے

e^{s / (3 R)}

کا مشتق

e^{s / (3 R)} / (3 R)

ہے، لہٰذا

T = (\frac{\partial u}{\partial s})_{v} = \frac{A}{v} \frac{e ^{s / (3 R)}}{3 R} = \frac{u}{3 R} .

مقررہ $s$ پر $v^{- 1/2}$ کا مشتق $- \frac{1}{2} v^{- 3/2}$ ہے، لہٰذا

P = - (\frac{\partial u}{\partial v})_{s} = \frac{1}{2} A v^{- 3/2} e^{s / (3 R)} = \frac{u}{2 v} .

پہلا تعلق $u = 3 R T$ دیتا ہے۔ اسے دوسرے میں رکھنے سے

P = \frac{3 R T}{2 v}, یعنی P v = \frac{3}{2} R T .

سوال 2۔ مستقل اینٹروپی والے راستے پر $s$ مستقل ہے، لہٰذا $u = A e^{s / (3 R)} v^{- 1/2}$ ، $v^{- 1/2}$ کے متناسب ہے۔ اس سے نتیجہ نکلتا ہے

T = \frac{u}{3 R} \propto v^{- 1/2}, P = \frac{u}{2 v} \propto v^{- 3/2} .

دباؤ کو آٹھ گنا کم کرنا لازم کرتا ہے

(\frac{v _{f}}{v _{0}})^{- 3/2} = \frac{1}{8} ⟹ (\frac{v _{f}}{v _{0}})^{3/2} = 8 ⟹ \frac{v _{f}}{v _{0}} = 8^{2/3} = 4.

چونکہ درجۂ حرارت $v^{- 1/2}$ کے متناسب ہے،

T_{f} = T_{0} (\frac{v _{f}}{v _{0}})^{- 1/2} = \frac{T _{0}}{4} = \frac{T _{0}}{2} .

سوال 3۔ دونوں حالتی مساواتیں $U = 2 P V = 2 B V T^{3}$ دیتی ہیں، لہٰذا

T = (\frac{U}{2 B V})^{1/3}, \frac{1}{T} = (\frac{2 B V}{U})^{1/3} = (2 B)^{1/3} V^{1/3} U^{- 1/3} .

دوسری طرف $P / T = B T^{2}$ ، اور $T$ رکھنے سے

\frac{P}{T} = B (\frac{U}{2 B V})^{2/3} = \frac{B ^{1/3}}{2 ^{2/3}} U^{2/3} V^{- 2/3} .

سوال 4۔ مقررہ $U$ پر $1/ T$ کا $V$ کے لحاظ سے تفرق کریں:

\frac{\partial}{\partial V} (\frac{1}{T}) = \frac{1}{3} (2 B)^{1/3} V^{- 2/3} U^{- 1/3} .

مقررہ $V$ پر $P / T$ کا $U$ کے لحاظ سے تفرق کریں:

\frac{\partial}{\partial U} (\frac{P}{T}) = \frac{2}{3} \frac{B ^{1/3}}{2 ^{2/3}} U^{- 1/3} V^{- 2/3} .

چونکہ $(2 B)^{1/3} = 2 \cdot 2^{- 2/3} B^{1/3}$ ، پہلا نتیجہ $\frac{2}{3} 2^{- 2/3} B^{1/3} V^{- 2/3} U^{- 1/3}$ بھی لکھا جا سکتا ہے: دونوں مخلوط مشتقات برابر ہیں۔ لہٰذا صورت $(1/ T) d U + (P / T) d V$ کسی تفاعل $S (U, V)$ کا تفرق ہو سکتی ہے۔ اتفاقاً چنی گئی دو حالتی مساواتیں عموماً یہ شرط پوری نہیں کرتیں۔

سوال 5۔ مقررہ

V

پر

1/ T

کا

U

کے لحاظ سے تکمل لیں۔

U^{- 1/3}

کا ایک ابتدائی تفاعل

\frac{3}{2} U^{2/3}

ہے، لہٰذا

S (U, V) = \frac{3}{2} (2 B)^{1/3} V^{1/3} U^{2/3} + f (V),

جہاں $f$ صرف $V$ کا تفاعل ہے۔ $V$ کے لحاظ سے تفرق کریں:

(\frac{\partial S}{\partial V})_{U} = \frac{3}{2} (2 B)^{1/3} \cdot \frac{1}{3} V^{- 2/3} U^{2/3} + f^{'} (V) = \frac{1}{2} (2 B)^{1/3} U^{2/3} V^{- 2/3} + f^{'} (V) .

مگر $\frac{1}{2} (2 B)^{1/3} = 2^{- 2/3} B^{1/3}$ : پہلی حد بالکل $P / T$ ہے۔ لہٰذا $f^{'} (V) = 0$ ہونا چاہیے، یعنی $f$ مستقل ہے، اور

S (U, V) = \frac{3}{2} (2 B V U^{2})^{1/3} + const .

اس کے برعکس، اس تفاعل کے مشتقات سوال 3 کے $1/ T$ اور $P / T$ دوبارہ دیتے ہیں، لہٰذا ابتدائی دونوں حالتی مساواتیں بھی۔ آخر میں، $U$ اور $V$ کو $λ$ سے ضرب دینے پر حاصلِ ضرب $V U^{2}$ ، $λ^{3}$ سے ضرب کھاتا ہے اور اس کا جذرِ مکعب $λ$ سے: ایک جمعی مستقل کی حد تک $S$ درجہ ایک کا متجانس، لہٰذا امتدادی ہے۔