حرارتی حرکیات کی حل شدہ مشق

کسی راستے کے ساتھ تفرقی صورت کا تکمل

مشق 6 · سبق 4 — حرارتی حرکیات کا پہلا اصول

تفرقی صورت، کامل تفرق، شوارز کا معیار، خطی تکمل

مسودہ نسخہ — یہ مشق ابھی نظرثانی کے مرحلے میں ہے۔

سوال

دو تفرقی صورتوں پر غور کریں:

\omega_1 = y\,\mathrm{d}x + x\,\mathrm{d}y, \qquad \omega_2 = y\,\mathrm{d}x,

اور مبدا $O(0,0)$ کو نقطہ $M(1,1)$ سے ملانے والے تین راستے: راستہ $\gamma_1$ افقی قطعہ $O\to(1,0)$ اور اس کے بعد عمودی قطعہ $(1,0)\to M$ پر مشتمل ہے؛ راستہ $\gamma_2$ عمودی قطعہ $O\to(0,1)$ اور پھر افقی قطعہ $(0,1)\to M$ پر مشتمل ہے؛ اور راستہ $\gamma_3$ وہ سیدھا قطعہ ہے جو $O$ کو براہ راست $M$ سے ملاتا ہے۔

ایسا تفاعل $f$ پیش کر کے دکھائیں کہ $\omega_1$ کامل ہے اور $\omega_1=\mathrm{d}f$ ۔
ہر قطعے کی پیرامیٹرائزیشن سے $\int_{\gamma_1}\omega_1$ اور $\int_{\gamma_2}\omega_1$ معلوم کریں۔ حساب کے بغیر بھی نتیجہ اخذ کریں۔
$\omega_2$ پر شوارز کا معیار لگائیں۔ کیا نتیجہ نکلتا ہے؟
$\int_{\gamma_1}\omega_2$ ، $\int_{\gamma_2}\omega_2$ اور $\int_{\gamma_3}\omega_2$ معلوم کر کے تبصرہ کریں۔

اشارہ

افقی قطعے پر

\mathrm{d}y=0

اور عمودی قطعے پر

\mathrm{d}x=0

ہوتا ہے؛ یوں ہر تکمل ایک سادہ تکمل بن جاتا ہے۔

تفصیلی حل

حل

سوال 1۔

f(x,y)=xy

موزوں ہے، کیونکہ

\partial f/\partial x=y

اور

\partial f/\partial y=x

سوال 2۔ $t\mapsto\bigl(x(t),y(t)\bigr)$ سے پیرامیٹرائز منحنی کے لیے

\int_\gamma\omega_1 = \int \left[y(t)x'(t)+x(t)y'(t)\right]\,\mathrm{d}t.

راستہ $\gamma_1$ دو قطعوں کا مجموعہ ہے۔ پہلے پر $t\in[0,1]$ کے لیے $x(t)=t$ اور $y(t)=0$ ؛ لہٰذا $\mathrm{d}x=\mathrm{d}t$ اور $\mathrm{d}y=0$ ۔ دوسرے پر پھر $t\in[0,1]$ کے لیے $x(t)=1$ اور $y(t)=t$ ؛ لہٰذا $\mathrm{d}x=0$ اور $\mathrm{d}y=\mathrm{d}t$ ۔ پس

\begin{aligned} I_1 = \int_{\gamma_1}\omega_1 &= \int_0^1\left(0\times 1+t\times 0\right)\,\mathrm{d}t + \int_0^1\left(t\times 0+1\times 1\right)\,\mathrm{d}t \\ &= 0+\int_0^1\mathrm{d}t = 1. \end{aligned}

$\gamma_2$ میں پہلے قطعے کی پیرامیٹرائزیشن $x(t)=0$ ، $y(t)=t$ اور دوسرے کی $x(t)=t$ ، $y(t)=1$ ہے، دونوں میں $t\in[0,1]$ ۔ چنانچہ

\begin{aligned} I_2 = \int_{\gamma_2}\omega_1 &= \int_0^1\left(t\times 0+0\times 1\right)\,\mathrm{d}t + \int_0^1\left(1\times 1+t\times 0\right)\,\mathrm{d}t \\ &= 0+\int_0^1\mathrm{d}t = 1. \end{aligned}

دونوں قیمتیں برابر ہیں۔ حساب کے بغیر بھی یہ معلوم تھا: چونکہ $f(x,y)=xy$ کے لیے $\omega_1=\mathrm{d}f$ ، اس کا تکمل صرف آخری سروں پر منحصر ہے،

\int_\gamma\omega_1=f(M)-f(O)=f(1,1)-f(0,0)=1.

سوال 3۔ لکھیں $\omega_2=A(x,y)\,\mathrm{d}x+B(x,y)\,\mathrm{d}y$ ۔ یہاں $A(x,y)=y$ اور $B(x,y)=0$ ۔ اگر صورت کامل ہوتی تو شوارز کا معیار دیتا

\frac{\partial A}{\partial y}=\frac{\partial B}{\partial x}.

لیکن $\partial A/\partial y=1$ جبکہ $\partial B/\partial x=0$ ۔ مخلوط مشتق مختلف ہیں، اس لیے $\omega_2$ کامل نہیں۔ اس کا تکمل $O$ اور $M$ کے درمیان اختیار کیے گئے راستے پر منحصر ہو سکتا ہے، جیسا اگلا حساب دکھاتا ہے۔

سوال 4۔ چونکہ $\omega_2=y\,\mathrm{d}x$ ، اس لیے صرف ایسی $x$ کی تبدیلی تکمل میں حصہ ڈال سکتی ہے جو $y$ کی غیر صفر قیمت پر ہو۔ سابقہ پیرامیٹرائزیشن سے $\gamma_1$ پر

\begin{aligned} J_1 =\int_{\gamma_1}\omega_2 &=\int_0^1 0\times 1\,\mathrm{d}t +\int_0^1 t\times 0\,\mathrm{d}t \\ &=0. \end{aligned}

$\gamma_2$ کے پہلے قطعے پر $x(t)=0$ ، لہٰذا $\mathrm{d}x=0$ ؛ دوسرے پر $x(t)=t$ ، $y(t)=1$ اور $\mathrm{d}x=\mathrm{d}t$ ۔ پس

\begin{aligned} J_2 =\int_{\gamma_2}\omega_2 &=\int_0^1 t\times 0\,\mathrm{d}t +\int_0^1 1\times 1\,\mathrm{d}t \\ &=1. \end{aligned}

آخر میں قطری قطعہ $\gamma_3$ واضح طور پر یوں پیرامیٹرائز ہے:

x(t)=t,\qquad y(t)=t,\qquad t\in[0,1],

اس لیے $\mathrm{d}x=\mathrm{d}t$ اور $\mathrm{d}y=\mathrm{d}t$ ۔ نتیجتاً

J_3 =\int_{\gamma_3}\omega_2 =\int_0^1 y(t)x'(t)\,\mathrm{d}t =\int_0^1 t\,\mathrm{d}t =\frac12.

تینوں راستوں کے آخری سر یکساں ہیں مگر قیمتیں مختلف ہیں: $J_1=0$ ، $J_2=1$ اور $J_3=1/2$ ۔ یہی ناکامل تفرقی صورت کی مخصوص راستے پر منحصر خاصیت ہے۔