Çözümlü termodinamik alıştırması

Yüklü bir küre ve ekstensiflik sorusu

Alıştırma 16 · Ders 4 — Termodinamiğin Birinci Yasası

Coulomb etkileşimi
elektrostatik enerji
ekstensiflik
elektriksel nötrlük

Soru

Toplam $Q > 0$ yükü, boşlukta bulunan $R$ yarıçaplı bir kürenin hacmine düzgün olarak dağılmıştır. Kısıtlar bu dağılımı korur; burada yalnızca dağılımın elektrostatik enerjisi $U_{el}$ hesaba katılır. Söz konusu olan iletken bir küre değildir; iletken bir kürede yükler dengede yüzeye yerleşirdi.

Dağılım, sonsuzdan yüklü kabuklar getirilerek oluşturulur. $r$ yarıçaplı bir topta önceden toplanmış $Q (r)$ yükü için yüzeydeki potansiyel $Φ (r) = k_{e} Q (r) / r$ 'dir; burada $k_{e} = 1/ (4 π ε_{0})$ 'dır. Yük elemanları sonsuz uzaktayken enerji sıfırdır.

Oluşturmanın bir aşamasını çizin. $Q (r)$ 'yi ve $d Q$ 'yu $Q, R, r$ ve $d r$ cinsinden ifade edin, ardından $U_{el}$ 'yi hesaplayın.
Aynı $q_{0}$ yükünü taşıyan $N$ bileşenli sürekli bir modelde $Q = N q_{0}$ alınır. Parçacık yoğunluğu sabitken $R = r_{0} N^{1/3}$ yazın ve enerjinin $N$ 'ye bağımlılığını belirleyin. İşaretini ve homojenlik derecesini kütle çekimindekilerle karşılaştırın.
Toplam yük sabitken, $R_{A}$ 'dan $R_{B} > R_{A}$ 'ya bir genişleme sırasındaki enerji değişimini hesaplayın. Bu genişleme yarı-statik ve kayıpsızsa, alınan dış işin işareti nedir? Bu işin ifadesi yalnızca elektriksel katkıyı temsil eder.
Farklı işaretli yükler için mikroskopik etkileşim enerjisi $U_{el} = k_{e} i < j \sum \frac{q _{i} q _{j}}{r _{ij}}$
biçiminde yazılır. Tek işaretli yük taşıyan bir küre için elde edilen yasa, neden tüm sıradan maddenin ekstensif olmadığını kanıtlamaz? Sıfır toplam yük bu toplamı sıfırlamaya yeter mi?

İpucu

d U_{el} = Φ (r) d Q

bağıntısını kullanın. Kabuklarla oluşturma her çifti bir kez sayar. Son soru için, aralarında

a

uzaklığı bulunan

+ q_{0}

- q_{0}

yüklerinden oluşan basit bir çifti inceleyin.

Ayrıntılı çözüm

Çözüm

Soru 1. Şema, önceden yüklenmiş

r

yarıçaplı topu ve getirilen

d r

kalınlıklı kabuğu gösterir. Sabit hacimsel yük yoğunluğu

ρ_{q} = 3 Q / (4 π R^{3})

'tür. Dolayısıyla

Q (r) = ρ_{q} \frac{4 π r ^{3}}{3} = Q \frac{r ^{3}}{R ^{3}}, d Q = 4 π ρ_{q} r^{2} d r = \frac{3 Q}{R ^{3}} r^{2} d r .

Ekleme sırasındaki enerji değişimi

d U_{el} = \frac{k _{e} Q ( r )}{r} d Q = \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{R ^{6}} r^{4} d r .

Merkezden yüzeye kadar katkılar toplanırsa

U_{el} = \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{R ^{6}} \int_{0}^{R} r^{4} d r = \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{R ^{6}} [\frac{r ^{5}}{5}]_{0}^{R} = \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{5 R} = \frac{3 Q ^{2}}{20 π ε _{0} R} .

Her katman çiftinin etkileşimi yalnızca bir kez sayılır; ek bir $1/2$ çarpanı gerekmez. Sonuç pozitiftir: yükleri bir araya getirmek için itmeye karşı koymak gerekir. $k_{e} Q^{2} / R$ çarpımı joule cinsinden ifade edilir.

Soru 2. Parçacık yoğunluğu

ρ_{N} = N / (4 π R^{3} /3)

sabitken

r_{0} = (3/ (4 π ρ_{N}))^{1/3}

olur. Yerine konursa

U_{el} = \frac{3 k _{e} ( N q _{0} ) ^{2}}{5 r _{0} N ^{1/3}} = \frac{3 k _{e} q _{0}^{2}}{5 r _{0}} N^{5/3} .

Bu enerji $5/3$ derecesindendir, dolayısıyla ekstensif değildir. Parçacık başına enerjisi $N^{2/3}$ gibi artar. Derece kütle-çekimsel küreninkiyle aynıdır, çünkü iki potansiyel de $1/ r$ gibi azalır; işaret ise terstir, çünkü aynı işaretli yükler birbirini iter. Sürekli model, nokta yüklerin öz enerjilerini saymadan toplu katkıyı betimler.

Soru 3.

Q

sabitken fark şudur:

Δ U_{el} = \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{5} (\frac{1}{R _{B}} - \frac{1}{R _{A}}) < 0.

Kayıpsız yarı-statik bir dönüşümde, alınan işe elektriksel katkı potansiyel enerjinin değişimidir. Bu, integral alarak da doğrulanabilir:

W_{ext} = \int_{R_{A}}^{R_{B}} - \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{5 R ^{2}} d R = [\frac{3 k _{e} Q ^{2}}{5 R}]_{R_{A}}^{R_{B}} = Δ U_{el} < 0.

Dış etken birbirini iten yükleri tutar ve genişleme sırasında iş alır. Tutma düzeneğinde başka hiçbir enerji depolanması bu elektriksel bilançoya dâhil edilmemiştir.

Soru 4. Aynı işaretli yükler için bütün

q_{i} q_{j}

çarpımları pozitiftir: katkıları toplanır. Elektriksel olarak nötr maddede ise tersine, büyük uzaklıkta birbirini dengeleyebilen çekici ve itici katkılar vardır. Nötrlük ve, ortaya çıktığı ortamlarda, perdeleme böylece hepsi aynı işaretli terimlerin toplanmasına dayanan akıl yürütmeyi değiştirir. Yine de toplam nötrlük

U_{el} = 0

anlamına gelmez. Aralarında

a

uzaklığı bulunan

+ q_{0}

- q_{0}

yüklerinin toplam yükü sıfırdır, ama etkileşim enerjileri sıfırdan farklı olan

- k_{e} q_{0}^{2} / a

'dır. Bir ölçekleme yasası kurmak için yüklerin düzenini ve aralarındaki korelasyonları bilmek gerekir. Dolayısıyla düzgün yüklü küre hesabı ne tüm maddenin ekstensif olmadığının ne de nötr sistemlerin ekstensif olduğunun bir kanıtıdır.