Çözümlü termodinamik alıştırması

Düzgün bir kütle-çekimsel küre oluşturmak

Alıştırma 15 · Ders 4 — Termodinamiğin Birinci Yasası

kütle çekimi
etkileşim enerjisi
düzgün küre
ekstensiflik
uzun menzil

Soru

$R$ yarıçaplı bir küre, $ρ_{m}$ yoğunluğuyla düzgün dağılmış $M$ kütlesi içerir. Kütle elemanları sonsuz uzaktayken sıfır alınan kütle-çekimsel potansiyel enerjisi $U_{grav}$ hesaplanmak isteniyor.

Küreyi, aynı yoğunluğu koruyarak eş merkezli katmanlar hâlinde oluşturduğumuzu düşünelim. Yarıçapın $r$ 'ye ulaştığı aşamada, önceden toplanmış kütle $M (r)$ 'dir ve sonsuzdan $d M$ kütleli bir kabuk getirilir. İç kütlenin kabuğun yüzeyinde oluşturduğu potansiyelin $- GM (r) / r$ olduğu kabul edilir. Hesap yalnızca kütle-çekimsel enerjiyle ilgilidir; kürenin herhangi bir mekanik dengesi varsayılmaz.

Önceden oluşturulmuş küreyi ve $r$ ile $r + d r$ arasına eklenen kabuğu çizin. $ρ_{m}$ 'yi, $M (r)$ 'yi ve $d M$ 'yi $M, R, r$ ve $d r$ cinsinden ifade edin.
Kabuğun iç küreyle etkileşim enerjisini ifade edin, ardından tümleyerek $U_{grav}$ 'yi bulun. Sonucu ikiye bölmek gerekir mi?
Küre, kütlesi $m$ olan $N$ bileşen içerir ve $M = N m$ 'dir. $ρ_{m}$ yoğunluğu sabitken $R$ 'yi $N$ cinsinden ifade edin, ardından $U_{grav}$ 'nin ve $U_{grav} / N$ 'nin $N$ 'ye bağımlılığını belirleyin.
$2 N$ bileşenli bir kürenin enerjisini, sonsuz uzakta bulunan ve her biri $N$ bileşenli iki kürenin enerjileri toplamıyla karşılaştırın; tüm küreler aynı yoğunluktadır. Farkın işaretini ve ekstensifliği yorumlayın.

İpucu

Kabuğun hacmi

4 π r^{2} d r

'dir. Yerindeki kütleyle etkileşim enerjisi

d U_{grav} = - GM (r) d M / r

'dir. Sayım sırasında her çift, dış parçası eklendiğinde bir kez hesaba girer.

Ayrıntılı çözüm

Çözüm

Soru 1. Şema,

r

yarıçaplı ve

M (r)

kütleli bir topu ve onu saran

d r

kalınlıklı bir katmanı gösterir; son yarıçap

R

de belirtilmiştir. Yoğunluğun düzgün olması şunu verir:

ρ_{m} = \frac{M}{4 π R ^{3} /3} = \frac{3 M}{4 π R ^{3}}, M (r) = ρ_{m} \frac{4 π r ^{3}}{3} = M \frac{r ^{3}}{R ^{3}} .

Dolayısıyla eklenen kütle

d M = 4 π ρ_{m} r^{2} d r = \frac{3 M}{R ^{3}} r^{2} d r .

Soru 2. Kütle-çekimsel potansiyel, birim kütle başına bir enerjidir. Getirilen kütleyle çarpılırsa

d U_{grav} = - \frac{GM ( r )}{r} d M = - \frac{G}{r} \frac{M r ^{3}}{R ^{3}} \frac{3 M r ^{2}}{R ^{3}} d r = - \frac{3 G M ^{2}}{R ^{6}} r^{4} d r .

İntegral, oluşturma sırasındaki tüm yarıçaplar üzerinden alınır:

U_{grav} = - \frac{3 G M ^{2}}{R ^{6}} \int_{0}^{R} r^{4} d r = - \frac{3 G M ^{2}}{R ^{6}} [\frac{r ^{5}}{5}]_{0}^{R} = - \frac{3 G M ^{2}}{R ^{6}} \frac{R ^{5}}{5} = - \frac{3 G M ^{2}}{5 R} .

Yeni bir katman ile bir iç katman arasındaki her etkileşim yalnızca bir kez sayılır. Bu nedenle $1/2$ çarpanı eklenmemelidir. Sonsuz küçük bir kabuğun öz enerjisi $(d M)^{2}$ mertebesindedir ve sürekli limitte integrale katkıda bulunmaz. Eksi işareti çekimi ifade eder; kütleleri birbirinden ayırmak enerji vermeyi gerektirir. Son olarak $G M^{2} / R$ 'nin birimi gerçekten de joule'dür.

Soru 3. Yoğunluk sabitken

\frac{4 π R ^{3}}{3} = \frac{N m}{ρ _{m}}, R = (\frac{3 m}{4 π ρ _{m}})^{1/3} N^{1/3} .

Enerjide $M$ ve $R$ yerine konursa

U_{grav} = - \frac{3}{5} G m^{2} (\frac{4 π ρ _{m}}{3 m})^{1/3} \frac{N ^{2}}{N ^{1/3}} = - a_{g} N^{5/3},

burada $a_{g} = \frac{3}{5} G m^{2} (4 π ρ_{m} / (3 m))^{1/3} > 0$ , $N$ 'den bağımsızdır. Dolayısıyla bileşen başına enerji $U_{grav} / N = - a_{g} N^{2/3}$ 'tür. Mutlak değeri sistemin boyutuyla artar: intensif kalmaz.

Soru 4. Büyük kürenin enerjisi

U_{grav} (2 N) = - a_{g} 2^{5/3} N^{5/3}

'tür. Sonsuz uzaktaki iki küre için karşılıklı etkileşim sıfırdır ve toplam

2 U_{grav} (N) = - 2 a_{g} N^{5/3}

'tür. Fark şudur:

U_{grav} (2 N) - 2 U_{grav} (N) = - a_{g} (2^{5/3} - 2) N^{5/3} < 0.

Büyük küre kütle-çekimsel olarak daha sıkı bağlıdır. Durumların bu karşılaştırması tek başına kürelerin birleşmesinin dinamiğini betimlemez. Gösterdiği şey $U_{grav} (2 N) \neq = 2 U_{grav} (N)$ olmasıdır: kütle-çekimsel enerji ekstensif değildir. Enerjinin korunumu sorgulanmaz; ekstensiflik, bu uzun menzilli etkileşimde geçerliliğini yitiren ek bir varsayımdır.