Çözümlü termodinamik alıştırması

Öteleme, dönme ve ısıl çalkantı

Alıştırma 14 · Ders 4 — Termodinamiğin Birinci Yasası

König teoremi
dönme
kinetik enerji
iç enerji
sürtünme

Soru

Kütleleri $m_{i}$ olan $N$ parçacıklı bir sistemin toplam kütlesi $M$ , kütle merkezinin konumu $R$ ve hızı $V$ 'dir. $ρ_{i} = r_{i} - R$ yazalım ve hızları ayrıştıralım:

v_{i} = V + ω \times ρ_{i} + u_{i}^{'} .

Bütünsel açısal hız $ω$ , artık hareket hiçbir toplam açısal momentum taşımayacak biçimde seçilir:

i \sum m_{i} u_{i}^{'} = 0, i \sum m_{i} ρ_{i} \times u_{i}^{'} = 0 .

$\sum_{i} m_{i} ∣ ω \times ρ_{i} ∣^{2} = ω \cdot I_{CM} ω$ özdeşliği kabul edilir; burada $I_{CM}$ kütle merkezine göre eylemsizlik tensörüdür.

$E_{kin} = \frac{1}{2} \sum_{i} m_{i} v_{i}^{2}$ ifadesini açın ve üç çapraz terimin sıfır olduğunu gösterin. Buradan öteleme, bütünsel dönme ve artık hareket arasındaki ayrışımı çıkarın.
Bütünsel öteleme ve dönmenin makroskopik hareket olarak sayıldığı uzlaşımda, iç enerjiye hangi kinetik enerji girer? Yalnızca ısıl çalkantıyı tutmak için kütle merkezi referans çerçevesine geçmek yeterli midir?
Kütlesi $M$ , yarıçapı $R$ olan ve ekseni sabit tutulan homojen bir disk başlangıçta $ω_{0}$ açısal hızıyla dönmektedir. Eylemsizlik momenti $I = M R^{2} /2$ 'dir. Bir fren diski durdurur. Disk ve fren sistemi ısı yalıtımlıdır; hareketsiz destekleri hiç iş vermez. Harcanan enerjinin tümü, toplam ısı kapasitesi $C$ sabit olan bu sistemde kalır. Sistemin iç enerji değişimini ve sıcaklık artışını bulun.
$M = 2, 0 kg$ , $R = 0, 10 m$ , $ω_{0} = 100 rad s^{- 1}$ ve $C = 500 J K^{- 1}$ için dönüştürülen enerjiyi ve sıcaklık artışını hesaplayın. Bu enerji sistemin sınırını ısı olarak mı geçmiştir?

İpucu

\sum_{i} m_{i} ρ_{i} = 0

eşitliğini ve

(ω \times ρ_{i}) \cdot u_{i}^{'} = ω \cdot (ρ_{i} \times u_{i}^{'})

karma çarpım özdeşliğini kullanın. Frenleme sırasında

U + E_{kin}^{macro}

korunur.

Ayrıntılı çözüm

Çözüm

Soru 1. Kütle merkezinin tanımı

\sum_{i} m_{i} r_{i} = M R

verir. Dolayısıyla

i \sum m_{i} ρ_{i} = i \sum m_{i} r_{i} - M R = 0 .

Her kare açılırsa

E_{kin} = \frac{1}{2} M V^{2} + \frac{1}{2} i \sum m_{i} ∣ ω \times ρ_{i} ∣^{2} + \frac{1}{2} i \sum m_{i} u_{i}^{'}^{2} + V \cdot (ω \times i \sum m_{i} ρ_{i}) + V \cdot i \sum m_{i} u_{i}^{'} + i \sum m_{i} (ω \times ρ_{i}) \cdot u_{i}^{'} .

Birinci çapraz terim kütle merkezinin tanımı gereği sıfırdır. İkincisi, artık momentum sıfır olduğu için sıfırdır. Üçüncüsü için karma çarpım şunu verir:

i \sum m_{i} (ω \times ρ_{i}) \cdot u_{i}^{'} = ω \cdot i \sum m_{i} (ρ_{i} \times u_{i}^{'}) = 0.

Eylemsizlik tensörü için verilen özdeşlikle geriye şu kalır:

E_{kin} = \frac{1}{2} M V^{2} + \frac{1}{2} ω \cdot I_{CM} ω + \frac{1}{2} i \sum m_{i} u_{i}^{'}^{2}

Soru 2. Bu uzlaşımda iç enerjiye kinetik katkı son terimdir: $\frac{1}{2} \sum_{i} m_{i} u_{i}^{'}^{2}$ . İç enerji ayrıca iç potansiyel enerjileri ve varsa diğer iç serbestlik derecelerini de içerir. Kütle merkezi referans çerçevesine geçmek öteleme terimini sıfırlar, ama bütünsel dönme terimini bırakır. Böylece sabit bir eksen çevresinde dönen bir disk, kütle merkezi hareketsiz olsa bile makroskopik kinetik enerjiye sahiptir.

Soru 3. Disk ve fren sisteminin sınırını geçen ısı ve iş sıfırdır. Desteklerin kuvvetleri açısal momentum aktarabilir, ama uygulama noktaları hareketsiz olduğundan iş aktarmazlar. Başka her makroskopik enerji değişimi ihmal edilirse korunum şunu verir:

Δ U + Δ E_{rotation} = 0.

Disk durur, dolayısıyla $Δ E_{rotation} = 0 - \frac{1}{2} I ω_{0}^{2}$ . Sonuç olarak

Δ U = \frac{1}{2} I ω_{0}^{2} = \frac{1}{4} M R^{2} ω_{0}^{2} > 0.

İç ısıl denge kurulduktan sonra, sabit ısı kapasitesi modeli $Δ U = C (T_{f} - T_{i})$ verir; yani

T_{f} - T_{i} = \frac{M R ^{2} ω _{0}^{2}}{4 C} .

Sürtünmeler, düzenli hareket enerjisini sistemin içinde iç enerjiye dönüştürür.

Soru 4. Eylemsizlik momenti

I = 2, 0 (0, 10)^{2} /2 = 0, 010 kg m^{2}

'dir. Buradan

Δ U = \frac{1}{2} (0, 010) (100)^{2} = 50 J, T_{f} - T_{i} = \frac{50}{500} = 0, 10 K .

$Q = 0$ olmasına rağmen sistem ısınır: bu enerji sınırını ısı olarak geçmemiştir. Başlangıçta dönme kinetik enerjisi biçiminde zaten sistemin içindeydi.