Çözümlü termodinamik alıştırması

Bir sabun zarını genişletmek için gereken iş

Alıştırma 13 · Ders 4 — Termodinamiğin Birinci Yasası

yüzey gerilimi
genelleştirilmiş iş
arayüz
sabun zarı

Soru

Düzlemsel bir sabun zarı, $ℓ$ uzunluklu bir çubuğu sürtünmesiz kayabilen dikdörtgen bir çerçeveye gerilmiştir. Bu çubuk ile çerçevenin karşı kenarı arasındaki $x$ uzaklığı $x_{A}$ 'dan $x_{B}$ 'ye artar. Zarın her biri sabit kabul edilen $γ$ yüzey gerilimine sahip iki hava-sıvı arayüzü vardır. Kenar etkileri, ağırlık ve basınç kuvvetlerinin işi ihmal edilir; sıvı hacmi sabittir ve sıvı alışverişi olmaz. Yer değiştirme, mekanik denge korunacak kadar yavaştır. Arayüz oluşturulurken alınan iş $δ W = γ d A$ biçiminde yazılır; burada $A$ arayüzlerin toplam alanıdır.

Çerçeveyi ve çubuğu çizin; $x$ 'i, $ℓ$ 'yi ve dış çekme kuvvetinin yönünü belirtin. $A (x)$ 'i, ardından $d A$ 'yı ifade edin.
Gerekli dış kuvveti belirleyin ve $x$ , $x_{A}$ 'dan $x_{B}$ 'ye geçerken alınan işi hesaplayın.
$γ = 30 mN m^{- 1}$ , $ℓ = 5, 0 cm$ ve $x_{B} - x_{A} = 2, 0 cm$ için bu kuvveti ve bu işi hesaplayın. Bir yüzü unutmak hangi hataya yol açardı?
Zar bir termostat sayesinde sabit sıcaklıkta kalır. Yalnızca $γ$ 'yı ve alan değişimini bilmek $Δ U$ 'yu ve $Q$ 'yu belirlemeye yeter mi?

İpucu

Her yüzün alanı

ℓ x

'tir.

F_{ext} d x

işini iki arayüzü oluşturma işiyle özdeşleştirin. Son soru için alınan işi depolanan enerjiden ayırın.

Ayrıntılı çözüm

Çözüm

Soru 1. Çerçeve zarın düzleminde, hareketli çubuk

x

doğrultusuna dik ve dış çekme kuvveti

x

'in arttığı yönde gösterilir. Her yüzün alanı

ℓ x

'tir. Dolayısıyla toplam alan ve değişimi

A = 2 ℓ x, d A = 2 ℓ d x,

çünkü $ℓ$ sabittir. Önden bakılan çizimde üst üste binseler de iki arayüz birbirinden ayrıdır.

Soru 2. Alınan iş iki biçimde yazılabilir:

δ W = F_{ext} d x = γ d A = 2 γ ℓ d x .

Özdeşleştirme $F_{ext} = 2 γ ℓ$ verir. Zarın kuvveti bu çekmeye karşı koyar. $γ$ ve $ℓ$ sabit olduğundan

W_{A \to B} = \int_{x_{A}}^{x_{B}} 2 γ ℓ d x = 2 γ ℓ [x]_{x_{A}}^{x_{B}} = 2 γ ℓ (x_{B} - x_{A}) > 0.

Zarın alanını artırmak iş verilmesini gerektirir.

Soru 3. SI birimlerinde

γ = 30 \times 1 0^{- 3} N m^{- 1}

ℓ = 5, 0 \times 1 0^{- 2} m

x_{B} - x_{A} = 2, 0 \times 1 0^{- 2} m

'dir. Böylece

F_{ext} = 2 (30 \times 1 0^{- 3}) (5, 0 \times 1 0^{- 2}) = 3, 0 \times 1 0^{- 3} N, W_{A \to B} = (3, 0 \times 1 0^{- 3}) (2, 0 \times 1 0^{- 2}) = 6, 0 \times 1 0^{- 5} J = 60 μ J .

Birimler tutarlıdır: $γ ℓ$ bir kuvvet, $γ Δ A$ ise bir enerjidir. Bir yüzü unutmak, kuvveti ve işi yanlış olarak ikiye bölerdi.

Soru 4. Birinci yasa yalnızca şunu dayatır:

Δ U = Q + γ Δ A .

Termostat, sıcaklığı korumak için ısı verebilir ya da alabilir. Zarın iç enerjisi için bir model olmadan ne $Δ U$ ne de $Q$ bilinir. Dolayısıyla $γ Δ A$ kendiliğinden bir iç enerji değişimiyle özdeşleştirilemez; izotermallikten $Q = 0$ sonucu da çıkarılamaz.