Çözümlü termodinamik alıştırması

Kısıtlar altında denge mi, sürekli rejim mi?

Alıştırma 6 · Ders 3 — Temel Kavramlar

termodinamik denge
sürekli rejim
kısıtlar
akılar
açık sistem

Soru

Kütleçekimini ihmal ederek üç idealleştirilmiş durumu ele alalım.

Her biri kendi içinde dengede olan iki gaz, yalıtılmış bir kaba kapatılmıştır. Gazları rijit, adyabatik ve geçirimsiz bir ayırıcı duvar birbirinden ayırır. Sıcaklıkları $T_{1}, T_{2}$ ve basınçları $P_{1}, P_{2}$ farklıdır.
Metal bir çubuk, uçlarından $T_{H} > T_{C}$ sıcaklıklarındaki iki termostatla temas hâlindedir. Yan yüzeyleri ısıca yalıtılmıştır. Çubuğun sıcaklık profili artık zamanla değişmemektedir, ancak çubuktan sıfırdan farklı bir ısıl güç geçmektedir.
Bir depo, aynı sabit kütlesel debiyle suyla beslenmekte ve boşaltılmaktadır. Deponun su düzeyi, sıcaklığı ve her noktada gözlenen akış artık zamanla değişmemektedir.

Her durumun şemasını çizin; incelenen sistemi sınırlayın ve sınırından geçen alışverişleri gösterin.
Her durumu sınıflandırın: dayatılan kısıtlar altında termodinamik denge mi, yoksa denge dışı bir sürekli rejim mi? Gerekçenizi yalnızca zamansal değişimin yokluğuna değil, akılara dayandırın.
Birinci durumda ayırıcı duvar, rijit ve geçirimsiz kalmak üzere diyatermik hâle getiriliyor. Hangi evrim mümkün hâle gelir? Son denge durumunda hangi eşitlik sağlanmalıdır? Basınçlar zorunlu olarak eşitlenmeli midir?
Bu kez duvar adyabatik ve geçirimsiz kalıyor, ancak sürtünmesiz hareket eden, dış kuvvet etkisinde olmayan ve başlangıçta durgun olan bir pistonla değiştiriliyor. Pistonun hareketini hangi fark başlatır? Durgun bir son duruma ulaşılırsa mekanik denge hangi eşitliği dayatır?

İpucu

Bir kısıt, hiçbir akıya izin vermeden bir sıcaklık veya basınç farkını koruyabilir. Giren akının çıkan akıya eşit olması da büyüklükleri sabit tutabilir, ancak bu bir denge değildir.

Ayrıntılı çözüm

Çözüm

Soru 1. İki gaz için kabın tamamı sınırın içine alınır: dış sınırından hiçbir alışveriş geçmez ve ayırıcı duvardan hiçbir aktarım gerçekleşmez.

(T_{1}, P_{1})

(T_{2}, P_{2})

duvarın iki yanına yazılır. Yalnızca çubuk ele alındığında ısıl oklar sıcak uçtan girer ve soğuk uçtan çıkar. Depoyla sınırlanan kontrol hacmi için bir madde oku besleme ağzından girer, bir diğeri boşaltma ağzından çıkar; bu madde enerji de taşır. Soru 2. İki gaz, dayatılan kısıtlar altında dengededir. Ayırıcı duvar ısı alışverişini, mekanik yer değiştirmeyi ve madde alışverişini engeller. Bu nedenle

T_{1} - T_{2}

P_{1} - P_{2}

farkları izin verilen hiçbir evrime yol açmaz. Çubuk sürekli rejimdedir, ancak dengede değildir: içinden kesintisiz olarak ısıl enerji geçer. Her noktada sıcaklığın zamanla sabit olması, ne sıcaklığın uzayda düzgün olduğunu ne de akı bulunmadığını gösterir. Depo da denge dışı bir sürekli rejimdedir.

\overset{m}{˙}_{in}

\overset{m}{˙}_{out}

pozitif kütlesel debileri gösteriyorsa kütle bilançosu

\frac{d m}{d t} = \overset{m}{˙}_{in} - \overset{m}{˙}_{out} = 0

verir. İçerideki kütle sabittir, ancak iki debinin her biri sıfırdan farklıdır. Su sürekli yenilenir: seçilen sistem açıktır.

Soru 3. Isıl yalıtımın kaldırılması, sıcak gazdan soğuk gaza ısı aktarımına izin verir. Son dengede

T_{1, f} = T_{2, f}

olur. Duvar rijit kaldığından bir basınç farkına dayanabilir: hiçbir şey

P_{1, f} = P_{2, f}

eşitliğini dayatmaz. Örneğin iki ideal gaz için

n_{1} / V_{1}

n_{2} / V_{2}

oranları farklı olabilir; dolayısıyla

n_{1} R T_{f} / V_{1}

n_{2} R T_{f} / V_{2}

basınçları da farklı olabilir. Soru 4. Pistonun kesit alanı

A

ise basınç kuvvetlerinin 1'den 2'ye doğru yönelmiş bileşkesi

F = A (P_{1} - P_{2})

olur. Bu bileşke başlangıçta sıfırdan farklıdır ve pistonu harekete geçirir. Durgun bir son durumda

F = 0

koşulu

P_{1, f} = P_{2, f}

eşitliğini dayatır. Adyabatiklik sıcaklıkların eşitliğini dayatmaz. Durgun bir son durumun varlığı burada koşulludur: tek başına kuvvet bilançosu, olası salınımların sönümlenmesini betimlemez.