Çözümlü termodinamik alıştırması

Bir sistemin boyutunu değiştirmek

Alıştırma 7 · Ders 3 — Temel Kavramlar

ekstensiflik
intensiflik
homojenlik
yüzey
boyut analizi

Soru

Olağan homojen bir sistemin kütlesi $m$ , hacmi $V$ , parçacık sayısı $N$ , iç enerjisi $U$ , sıcaklığı $T$ ve basıncı $P$ 'dir. Burada uzun menzilli etkileşimler ve kenar etkileri ihmal edilerek $U$ 'nun ekstensif olduğu varsayılmaktadır. Sistemin boyutu, intensif durum sabit tutularak değiştirilir: $λ > 0$ olmak üzere $(m, V, N, U) \mapsto (λm, λV, λ N, λ U)$ ; bu sırada $T$ ve $P$ değişmeden kalır.

$m / V$ , $V / N$ , $U / N$ , $P V$ , $U^{2} / V$ ve $V^{1/3}$ büyüklüklerinin homojenlik derecesini belirleyin. Hangi büyüklükler ekstensif, hangileri intensiftir, hangileri ise ikisi de değildir?
Bir enerji için iki ifade öneriliyor: $U_{1} = a N k_{B} T$ ve $U_{2} = a N^{2} k_{B} T$ ; burada $a > 0$ boyutsuzdur ve sistemin boyutundan bağımsızdır. Bu ifadelerin boyutlarını doğrulayın, ardından hangisinin ekstensiflik varsayımıyla uyumlu olduğunu belirleyin. Bu iki denetimin neden birbirinden farklı olduğunu hatırlatın.
Yarıçapı $R$ olan bir küre için $A$ alanını $V$ hacmi cinsinden ifade edin. Tek bir küre sabit yoğunlukta büyütüldüğünde $A$ ve $A / V$ büyüklüklerinin homojenlik derecelerini belirleyin.
Hacmi $8 V$ olan bir kürenin alanını, her biri $V$ hacminde sekiz ayrı kürenin toplam alanıyla karşılaştırın. “Bir nesneyi büyütmek” ile “kopyalarını yan yana koymak” işlemlerinin, nesnenin ara yüzeylerinin alanı için neden aynı sonucu vermediğini açıklayın.

İpucu

Her büyüklüğü ölçek değişiminden sonraki değeriyle değiştirin.

k

derecesinden homojen bir büyüklük için elde edilen çarpan

λ^{k}

olmalıdır. Küre için

V = 4 π R^{3} /3

A = 4 π R^{2}

bağıntılarından başlayın.

Ayrıntılı çözüm

Çözüm

Soru 1. Ölçek çarpanları bir çarpımda çarpılır, bir bölümde bölünür. Açıkça şunlar bulunur:

\frac{λm}{λV} = \frac{m}{V}, \frac{λV}{λ N} = \frac{V}{N}, \frac{λ U}{λ N} = \frac{U}{N} .

Bu üç oran $0$ derecesindendir, dolayısıyla intensiftir. Ayrıca

P (λV) = λ P V, \frac{( λ U ) ^{2}}{λV} = λ \frac{U ^{2}}{V}, (λV)^{1/3} = λ^{1/3} V^{1/3} .

Böylece $P V$ ve $U^{2} / V$ , $1$ derecesindendir; yani verilen ölçekleme yasası anlamında ekstensiftir. $V^{1/3}$ ise $1/3$ derecesindendir; dolayısıyla ne ekstensif ne de intensiftir. Homojenlik derecesi birimleri belirlemez: $P V$ joule cinsinden, $U^{2} / V$ ise $J^{2} m^{- 3}$ cinsinden ifade edilir.

Soru 2.

N

boyutsuz bir sayıdır ve

k_{B}

J K^{- 1}

cinsinden ifade edilir. Dolayısıyla iki ifade de enerji boyutundadır. Bununla birlikte

U_{1} (λ N, T) = λ U_{1} (N, T), U_{2} (λ N, T) = λ^{2} U_{2} (N, T)

olur. Varsayılan ekstensiflikle yalnızca $U_{1}$ uyumludur. Demek ki bir formül doğru birimlere sahip olduğu hâlde sistemin boyutuna yanlış biçimde bağlı olabilir. Bu, ekstensif olmayan her enerjiyi yasaklamaz: $U_{2}$ 'yi dışlayan, bu alıştırmada yapılan varsayımdır.

Soru 3. Yarıçap çekilir ve alan ifadesinde yerine konur:

R = (\frac{3 V}{4 π})^{1/3}, A = 4 π (\frac{3 V}{4 π})^{2/3} = (36 π)^{1/3} V^{2/3} .

Dolayısıyla $A (λV) = λ^{2/3} A (V)$ : alan $2/3$ derecesindendir. $λV$ 'ye bölünerek $A (λV) / (λV) = λ^{- 1/3} A (V) / V$ elde edilir. Alanın hacme oranı $- 1/3$ derecesindendir ve küre büyüdükçe azalır.

Soru 4. Tek küre için

A (8 V) = 8^{2/3} A (V) = 4 A (V)

olur. Buna karşılık sekiz ayrı kürenin toplam alanı

8 A (V)

'dir. Dolayısıyla toplam alanları iki kat büyüktür. Kompakt bir nesneyi büyütmek onun biçimini korur ve ara yüzeylerin göreli ağırlığını azaltır. Yan yana koyma ise kopyaların bütün ara yüzeylerini korur. Yüzey katkıları incelenirken geometrik işlemin belirtilmesi gerekir; bu katkılar, hacmin ekstensif betimlemesinde tam da ihmal edilen katkılardır.