Çözümlü termodinamik alıştırması

İzentropik genleşme ve bir temel bağıntının yeniden kurulması

Alıştırma 38 · Ders 7 — Matematiksel Yapı: Temel Bağıntılar

temel bağıntı
izentropik genleşme
durum denklemleri
entropi gösterimi
integrallenebilirlik koşulu
molar büyüklükler

Soru

Kısım A. Bir sistem

u = \frac{A}{v} e^{s / (3 R)}

molar temel bağıntısıyla betimlenir; burada $u$ , $v$ ve $s$ molar iç enerji, molar hacim ve molar entropi, $A > 0$ bir sabit, $R$ ise ideal gaz sabitidir. Başlangıç durumu $T_{0}$ sıcaklığı ve $P_{0}$ basıncıyla belirlenir.

$T$ ve $P$ 'yi $u$ ve $v$ cinsinden ifade edin. Buradan $P$ , $v$ ve $T$ 'yi birbirine bağlayan durum denklemini çıkarın.
Sisteme, basıncı sekize bölünene kadar izentropik bir genleşme uygulanır. Son sıcaklığı yalnızca $T_{0}$ cinsinden ifade edin.

Kısım B. Madde miktarı sabit olan başka bir sistem

U = 2 P V, P = B T^{3}

iki durum denklemine uyar; burada $B > 0$ bir sabittir.

$1/ T$ ve $P / T$ 'yi $U$ ve $V$ cinsinden ifade edin.
Bir $S (U, V)$ temel bağıntısı ancak çapraz türevler eşitse var olabilir: $\partial (1/ T) / \partial V = \partial (P / T) / \partial U$ . Bu koşulu doğrulayın.
$S (U, V)$ temel bağıntısını bir sabit farkıyla belirleyin. Bu bağıntının iki durum denklemini gerçekten yeniden verdiğini, ardından ekstensif olduğunu doğrulayın.

İpucu

Kısım A:

T = (\partial u / \partial s)_{v}

P = - (\partial u / \partial v)_{s}

; bir izentropik boyunca

s

sabittir ve her şey

v

cinsinden ifade edilir. Kısım B:

d S = (1/ T) d U + (P / T) d V

. Önce

(\partial S / \partial U)_{V} = 1/ T

'yi

V

sabitken bir

f (V)

fonksiyonu ekleyerek tümleyin, ardından

f

'yi

(\partial S / \partial V)_{U} = P / T

yardımıyla belirleyin.

Ayrıntılı çözüm

Çözüm

Soru 1.

v

sabitken

e^{s / (3 R)}

'nin

s

'ye göre türevi

e^{s / (3 R)} / (3 R)

'dir; buradan

T = (\frac{\partial u}{\partial s})_{v} = \frac{A}{v} \frac{e ^{s / (3 R)}}{3 R} = \frac{u}{3 R} .

$s$ sabitken $v^{- 1/2}$ 'nin türevi $- \frac{1}{2} v^{- 3/2}$ 'dir; buradan

P = - (\frac{\partial u}{\partial v})_{s} = \frac{1}{2} A v^{- 3/2} e^{s / (3 R)} = \frac{u}{2 v} .

Birinci bağıntı $u = 3 R T$ verir. Bunu ikincisinde yerine koyarsak

P = \frac{3 R T}{2 v}, yani P v = \frac{3}{2} R T .

Soru 2. İzentropik boyunca $s$ sabittir, dolayısıyla $u = A e^{s / (3 R)} v^{- 1/2}$ , $v^{- 1/2}$ ile orantılıdır. Buradan

T = \frac{u}{3 R} \propto v^{- 1/2}, P = \frac{u}{2 v} \propto v^{- 3/2} .

Basıncı sekize bölmek şunu gerektirir:

(\frac{v _{f}}{v _{0}})^{- 3/2} = \frac{1}{8} ⟹ (\frac{v _{f}}{v _{0}})^{3/2} = 8 ⟹ \frac{v _{f}}{v _{0}} = 8^{2/3} = 4.

Sıcaklık $v^{- 1/2}$ ile orantılı olduğundan

T_{f} = T_{0} (\frac{v _{f}}{v _{0}})^{- 1/2} = \frac{T _{0}}{4} = \frac{T _{0}}{2} .

Soru 3. İki durum denklemi $U = 2 P V = 2 B V T^{3}$ verir; buradan

T = (\frac{U}{2 B V})^{1/3}, \frac{1}{T} = (\frac{2 B V}{U})^{1/3} = (2 B)^{1/3} V^{1/3} U^{- 1/3} .

Öte yandan $P / T = B T^{2}$ 'dir; $T$ yerine konursa

\frac{P}{T} = B (\frac{U}{2 B V})^{2/3} = \frac{B ^{1/3}}{2 ^{2/3}} U^{2/3} V^{- 2/3} .

Soru 4. $U$ sabitken $1/ T$ 'nin $V$ 'ye göre türevini alalım:

\frac{\partial}{\partial V} (\frac{1}{T}) = \frac{1}{3} (2 B)^{1/3} V^{- 2/3} U^{- 1/3} .

$V$ sabitken $P / T$ 'nin $U$ 'ya göre türevini alalım:

\frac{\partial}{\partial U} (\frac{P}{T}) = \frac{2}{3} \frac{B ^{1/3}}{2 ^{2/3}} U^{- 1/3} V^{- 2/3} .

$(2 B)^{1/3} = 2 \cdot 2^{- 2/3} B^{1/3}$ olduğundan birinci sonuç $\frac{2}{3} 2^{- 2/3} B^{1/3} V^{- 2/3} U^{- 1/3}$ biçiminde de yazılır: iki çapraz türev eşittir. Dolayısıyla $(1/ T) d U + (P / T) d V$ formu bir $S (U, V)$ fonksiyonunun diferansiyeli olabilir. Rastgele seçilmiş iki durum denklemi genel olarak bu koşulu sağlamaz.

Soru 5.

V

sabitken

1/ T

'yi

U

'ya göre tümleyelim.

U^{- 1/3}

'ün bir ilkel fonksiyonu

\frac{3}{2} U^{2/3}

'tür; buradan

S (U, V) = \frac{3}{2} (2 B)^{1/3} V^{1/3} U^{2/3} + f (V),

burada $f$ yalnızca $V$ 'nin bir fonksiyonudur. $V$ 'ye göre türev alalım:

(\frac{\partial S}{\partial V})_{U} = \frac{3}{2} (2 B)^{1/3} \cdot \frac{1}{3} V^{- 2/3} U^{2/3} + f^{'} (V) = \frac{1}{2} (2 B)^{1/3} U^{2/3} V^{- 2/3} + f^{'} (V) .

Oysa $\frac{1}{2} (2 B)^{1/3} = 2^{- 2/3} B^{1/3}$ 'tür: birinci terim tam olarak $P / T$ 'dir. Dolayısıyla $f^{'} (V) = 0$ , yani $f$ sabit olmalıdır ve

S (U, V) = \frac{3}{2} (2 B V U^{2})^{1/3} + const .

Tersine, bu fonksiyonun türevleri 3. sorudaki $1/ T$ ve $P / T$ 'yi, dolayısıyla baştaki iki durum denklemini yeniden verir. Son olarak $U$ ve $V$ $λ$ ile çarpılınca $V U^{2}$ çarpımı $λ^{3}$ ile, küp kökü ise $λ$ ile çarpılır: toplamsal sabit dışında $S$ birinci dereceden homojendir, dolayısıyla ekstensiftir.