Çözümlü termodinamik alıştırması

Evrendeki foton gazı

Alıştırma 39 · Ders 7 — Matematiksel Yapı: Temel Bağıntılar

foton gazı
ışınım
kozmik mikrodalga arka plan ışıması
temel bağıntı
adyabatik genleşme
homojen fonksiyon
sıfır kimyasal potansiyel

Soru

Evrenin ilk anlarında madde; çekirdeklerden, elektronlardan ve fotonlardan oluşan sıcak bir plazmadır. Yaklaşık $T_{i} \approx 3000 K$ 'de ilk atomlar oluşur ve fotonlar serbest kalır. Bu anda foton gazının $T_{i}$ sıcaklığında dengede olduğunu, ardından Evrenin genişlemesi boyunca tersinir adyabatik bir genleşmeye uğradığını kabul ediyoruz. Temel bağıntısının

S (U, V) = \frac{4}{3} a V^{1/4} U^{3/4}

olduğu kabul edilir; burada $a$ boyutlu pozitif bir sabittir. Entropi, foton sayısı $N$ 'ye bağlı değildir: bu sayı korunmaz.

Birinci dereceden homojen fonksiyonun tanımını hatırlatın ve $S$ 'nin böyle bir fonksiyon olduğunu gösterin.
$V$ sabitken $S$ 'nin $U$ 'ya göre grafiğinin genel biçimini çizin. Bu fonksiyon içbükey midir? Yorumlayın.
$S$ 'nin türevlerinden $T$ , $P$ ve $μ$ 'yü belirleyin. Özellikle $U = a^{4} V T^{4}$ ve $P = U / (3 V)$ olduğunu gösterin, ardından $μ$ 'nün değerini yorumlayın.
Bu gaz için birinci yasayı yazın ve tersinir adyabatik bir genleşmeye uyarlayın. Buradan bu dönüşüm boyunca $U$ ile $V$ arasında bir bağıntı çıkarın.
Buradan genleşme boyunca $V T^{3}$ 'ün sabit kaldığını çıkarın.
Bu sonucu, $T$ ve $V$ cinsinden ifade edilmiş entropiden doğrudan yeniden elde edin.
Foton gazı bugün $T_{f} \approx 3 K$ 'de gözlenir: bu, kozmik mikrodalga arka plan ışımasıdır. Salınımdan bu yana Evrenin hacmi hangi çarpanla çarpılmıştır?

İpucu

Entropi gösteriminde

1/ T = (\partial S / \partial U)_{V}

P / T = (\partial S / \partial V)_{U}

μ / T = - (\partial S / \partial N)_{U, V}

'dir. 4. soru için, tersinir adyabatik bir dönüşüm

d S = 0

'ı, dolayısıyla

d U = - P d V

'yi sağlar: değişkenleri ayırın.

Ayrıntılı çözüm

Çözüm

Soru 1. Birçok değişkenli bir

f

fonksiyonu, her

λ > 0

için

f (λ x, λ y) = λ f (x, y)

ise birinci dereceden homojendir. Burada

S (λ U, λV) = \frac{4}{3} a (λV)^{1/4} (λ U)^{3/4} = \frac{4}{3} a λ^{1/4 + 3/4} V^{1/4} U^{3/4} = λ S (U, V) .

Dolayısıyla foton gazının entropisi ekstensiftir.

Soru 2.

V

sabitken

S

U^{3/4}

ile orantılıdır. Birinci türevi

(\frac{\partial S}{\partial U})_{V} = a V^{1/4} U^{- 1/4} > 0

pozitiftir: $S$ , $U$ ile artar ve sıcaklık pozitiftir. İkinci türevi

(\frac{\partial ^{2} S}{\partial U ^{2}})_{V} = - \frac{a}{4} V^{1/4} U^{- 5/4} < 0

negatiftir: $S$ , $U$ 'ya göre içbükeydir. Eğri başlangıç noktasından dikey bir teğetle çıkar, ardından kirişlerinin üstünde kalarak bükülür. Bu içbükeylik, foton gazının dengesinin kararlılığını ifade eder.

Soru 3. 2. soruya göre

\frac{1}{T} = a (\frac{V}{U})^{1/4} ⟹ (\frac{U}{V})^{1/4} = a T ⟹ U = a^{4} V T^{4} .

$U$ sabitken $V$ 'ye göre türev

\frac{P}{T} = (\frac{\partial S}{\partial V})_{U} = \frac{4}{3} a \cdot \frac{1}{4} V^{- 3/4} U^{3/4} = \frac{a}{3} (\frac{U}{V})^{3/4} .

Oysa $(U / V)^{3/4} = ((U / V)^{1/4})^{3} = a^{3} T^{3}$ ; buradan

P = T \cdot \frac{a}{3} \cdot a^{3} T^{3} = \frac{a ^{4} T ^{4}}{3} = \frac{U}{3 V} .

Son olarak $S$ , $N$ 'ye bağlı değildir, dolayısıyla $μ = - T (\partial S / \partial N)_{U, V} = 0$ . Fotonların kimyasal potansiyeli sıfırdır: sayıları korunmadığından dengede serbestçe ayarlanır ve bir foton eklemek hiçbir şeye mal olmaz.

Soru 4.

μ d N

terimi sıfır olduğundan diferansiyel temel bağıntı

d U = T d S - P d V

biçiminde yazılır. Tersinir adyabatik bir genleşme için

d S = 0

'dır; dolayısıyla

P = U / (3 V)

ile

d U = - P d V = - \frac{U}{3 V} d V ⟹ \frac{d U}{U} = - \frac{1}{3} \frac{d V}{V} .

Başlangıç durumu ile genleşmenin herhangi bir durumu arasında tümlenirse $ln (U / U_{i}) = - \frac{1}{3} ln (V / V_{i})$ , yani

U V^{1/3} = const .

Soru 5. $U$ yerine $a^{4} V T^{4}$ koyalım:

a^{4} V T^{4} \cdot V^{1/3} = a^{4} V^{4/3} T^{4} = const .

$a$ sabit olduğundan $V^{4/3} T^{4} = (V^{1/3} T)^{4}$ sabittir, dolayısıyla $V^{1/3} T$ de sabittir; küpü alınınca $V T^{3} = const$ .

Soru 6.

U

yerine

a^{4} V T^{4}

koyarak

S

'yi

T

V

cinsinden ifade edelim:

S = \frac{4}{3} a V^{1/4} (a^{4} V T^{4})^{3/4} = \frac{4}{3} a V^{1/4} a^{3} V^{3/4} T^{3} = \frac{4}{3} a^{4} V T^{3} .

Tersinir adyabatik bir genleşme izentropiktir: $S$ sabittir, dolayısıyla $V T^{3}$ de sabittir. 5. sorunun sonucu doğrudan yeniden bulunur.

Soru 7.

V T^{3}

korunduğundan

\frac{V _{f}}{V _{i}} = (\frac{T _{i}}{T _{f}})^{3} = (\frac{3000}{3})^{3} = (1 0^{3})^{3} = 1 0^{9} .

Salınımdan bu yana Evrenin hacmi bir milyarla çarpılmıştır; bu da uzaklıklarda $1 0^{3}$ 'lük bir çarpana karşılık gelir. Yaklaşık $3000 K$ 'de salınan ve genişlemeyle soğuyan ışınım, bugün $2, 7 K$ 'de ölçülen kozmik mikrodalga arka plan ışımasıdır.