Çözümlü termodinamik alıştırması

Gibbs–Duhem ve ideal gazın kimyasal potansiyeli

Alıştırma 36 · Ders 7 — Matematiksel Yapı: Temel Bağıntılar

Gibbs-Duhem
kimyasal potansiyel
ideal gaz
ekstensiflik
izotermal sıkıştırma

Soru

Homojen bir saf madde şunları sağlar:

U = T S - P V + μ n, d U = T d S - P d V + μ d n .

Euler bağıntısının diferansiyelini alın ve temel bağıntıyla karşılaştırarak Gibbs–Duhem bağıntısını kurun.
Molar entropi $s = S / n$ ve molar hacim $v = V / n$ 'yi kullanarak $d μ = - s d T + v d P$ olduğunu gösterin.
Sabit sıcaklıkta bu bağıntıyı bir ideal gaz için $P_{1}$ ve $P_{2}$ basınçları arasında tümleyin.
$P_{2} > P_{1}$ için $μ (T, P_{2}) - μ (T, P_{1})$ 'in işaretini belirleyin ve fiziksel olarak yorumlayın.

İpucu

Bir ideal gaz için molar hacim

v = R T / P

'dir.

Ayrıntılı çözüm

Çözüm

1. Euler bağıntısının diferansiyeli

d U = T d S + S d T - P d V - V d P + μ d n + n d μ .

Temel bağıntı çıkarılınca $d S$ , $d V$ ve $d n$ içeren terimler sıfırlanır. Geriye şu kalır:

S d T - V d P + n d μ = 0.

2. Bu eşitlik $n$ 'ye bölünürse

s d T - v d P + d μ = 0,

yani $d μ = - s d T + v d P$ .

3. Sabit sıcaklıkta

d T = 0

'dır. İdeal gaz için

d μ = v d P = \frac{R T}{P} d P .

Sınırları açıkça yazarak tümlersek

μ (T, P_{2}) - μ (T, P_{1}) = R T \int_{P_{1}}^{P_{2}} \frac{d P}{P} = R T ln (\frac{P _{2}}{P _{1}}) .

4. $P_{2} > P_{1}$ ise $P_{2} / P_{1} > 1$ ve $ln (P_{2} / P_{1}) > 0$ 'dır. $R > 0$ ve $T > 0$ olduğundan

μ (T, P_{2}) - μ (T, P_{1}) > 0.

Dolayısıyla gazı izotermal olarak sıkıştırmak kimyasal potansiyelini artırır. Aynı sıcaklıktaki iki bölge madde alışverişi yapabiliyorsa, kendiliğinden aktarım, iki potansiyel eşitlenene kadar kimyasal potansiyeli yüksek bölgeden düşük bölgeye doğru gerçekleşir.