Çözümlü termodinamik alıştırması

Bir adyabat üzerinde Maxwell bağıntısını doğrulamak

Alıştırma 35 · Ders 7 — Matematiksel Yapı: Temel Bağıntılar

Maxwell bağıntısı
ideal gaz
adyabat
molar ısı kapasitesi
kısmi türevler

Soru

Bileşimi sabit kapalı bir sistem için

d U = T d S - P d V .

Molar ısı kapasitesi $c_{V}$ sabit olan bir ideal gazı ele alalım ve $c_{P} - c_{V} = R$ olmak üzere $γ = c_{P} / c_{V}$ yazalım.

$U (S, V)$ 'nin diferansiyelinden $(\frac{\partial T}{\partial V})_{S} = - (\frac{\partial P}{\partial S})_{V}$ Maxwell bağıntısını çıkarın.
Sol tarafı $T V^{γ - 1} = const$ bağıntısından hesaplayın.
Sağ tarafı ayrıca, $P = n R T / V$ bağıntısını ve sabit hacimde $d S = n c_{V} d T / T$ bağıntısını kullanarak hesaplayın.
İki sonucun örtüştüğünü doğrulayın.

İpucu

1. soruda

T = (\partial U / \partial S)_{V}

- P = (\partial U / \partial V)_{S}

özdeşleştirmelerini yapın, ardından türevlerin sırasını değiştirin.

Ayrıntılı çözüm

Çözüm

U

'nun doğal değişkenleri

S

V

'dir. Dolayısıyla

T = (\frac{\partial U}{\partial S})_{V}, - P = (\frac{\partial U}{\partial V})_{S} .

$U$ 'nun çapraz türevleri eşit olduğundan

(\frac{\partial T}{\partial V})_{S} = \frac{\partial ^{2} U}{\partial V \partial S} = - (\frac{\partial P}{\partial S})_{V} .

2. Tersinir bir adyabat üzerinde $T V^{γ - 1} = K$ 'dir. Sabit entropide diferansiyel alınırsa

V^{γ - 1} d T + T (γ - 1) V^{γ - 2} d V = 0.

$V^{γ - 1} d V$ 'ye bölündükten sonra

(\frac{\partial T}{\partial V})_{S} = - (γ - 1) \frac{T}{V} .

3. Sabit hacimde $P = n R T / V$ , dolayısıyla

(\frac{\partial P}{\partial S})_{V} = \frac{n R}{V} (\frac{\partial T}{\partial S})_{V} .

Oysa sabit hacimde $d S = n c_{V} d T / T$ 'dir; buradan $(\partial T / \partial S)_{V} = T / (n c_{V})$ . Böylece

- (\frac{\partial P}{\partial S})_{V} = - \frac{R T}{c _{V} V} .

4. Mayer bağıntısı $R / c_{V} = (c_{P} - c_{V}) / c_{V} = γ - 1$ verir. Dolayısıyla sağ taraf $- (γ - 1) T / V$ 'ye eşittir; tam olarak sol taraf gibi.