Çözümlü termodinamik alıştırması

Esnek bir teli germek

Alıştırma 12 · Ders 4 — Termodinamiğin Birinci Yasası

genelleştirilmiş iş
esnek tel
çekme
birinci yasa

Soru

Yüksüz uzunluğu $L_{0}$ olan bir tel, histerezis olmadan, yavaşça $L_{A}$ 'dan $L_{B}$ 'ye gerilir; burada $L_{0} \leq L_{A} < L_{B}$ 'dir. İncelenen aralıkta telin denge gerilmesi

F = K (L - L_{0})

yasasına uyar; burada $K > 0$ , sıcaklıktan bağımsız sabit bir sertliktir. Dış çekme kuvveti her aşamada telin gerilmesini dengeler. İç enerji için şu model benimsenir:

U (T, L) = C (T - T_{⋆}) + \frac{1}{2} K (L - L_{0})^{2} + U_{⋆},

burada $C$ sabit bir toplam ısı kapasitesi, $T_{⋆}$ ve $U_{⋆}$ ise sabit referans değerleridir. Kinetik enerji ve yerçekimi potansiyel enerjisindeki değişimler ihmal edilebilir.

Teli, sabit noktasını, hareketli ucunu ve dış çekme kuvvetini çizin. Bir $d L$ değişimi için alınan elementer işi yazın, ardından $W_{A \to B}$ 'yi hesaplayın.
Germe izotermdir. Bu modelde $Δ U$ 'yu ve alınan $Q_{A \to B}$ ısısını hesaplayın. İzotermal bir dönüşüm genel olarak $Δ U = 0$ olmasını gerektirir mi?
Tel, aynı çekme yasası izlenerek $L_{B}$ 'den $L_{A}$ 'ya geri getirilir. Bu dönüşte ve gidiş-dönüşün tamamında alınan işi hesaplayın. Bu sonuç neden her işin bir durum fonksiyonu olduğu anlamına gelmez?

İpucu

δ W = F_{ext} d L

bağıntısını kullanın ve değişken kuvveti tümleyin. Ardından,

Δ U = Q + W

bağıntısını kullanarak sonucu modelin verdiği iç enerji farkıyla karşılaştırın.

Ayrıntılı çözüm

Çözüm

Soru 1. Şemada telin sol ucu sabittir. Sağ uca sağa doğru yönelmiş bir çekme kuvveti uygulanır; bu ucun yer değiştirmesi

d L

'dir. Tel uzadığında aldığı iş pozitiftir:

δ W = F_{ext} d L = K (L - L_{0}) d L .

Kuvvet sabit değildir. Bu nedenle şu integrali hesaplamak gerekir:

W_{A \to B} = \int_{L_{A}}^{L_{B}} K (L - L_{0}) d L = [\frac{K}{2} (L - L_{0})^{2}]_{L_{A}}^{L_{B}} = \frac{K}{2} [(L_{B} - L_{0})^{2} - (L_{A} - L_{0})^{2}] > 0.

Sertliğin birimi $N m^{- 1}$ 'dir: dolayısıyla $K (L - L_{0})^{2}$ $N m$ , yani joule cinsinden ifade edilir.

Soru 2.

T_{B} = T_{A}

olduğundan ısıl terim değişmez. Referans sabitleri de sadeleşir; buradan

Δ U = C (T_{B} - T_{A}) + \frac{K}{2} [(L_{B} - L_{0})^{2} - (L_{A} - L_{0})^{2}] = W_{A \to B} .

Birinci yasa bu durumda $Q_{A \to B} = Δ U - W_{A \to B} = 0$ verir. Bu ideal modelde alınan iş esneklik enerjisi olarak depolanır. Sıcaklık sabit kalır, ama iç enerji artar: dolayısıyla izotermallik $Δ U = 0$ olmasını gerektirmez. $Q = 0$ sonucu burada benimsenen modele bağlıdır ve tüm malzemelere genellenemez.

Soru 3. Sınırları değiştirmek integralin işaretini değiştirir:

W_{B \to A} = \int_{L_{B}}^{L_{A}} K (L - L_{0}) d L = [\frac{K}{2} (L - L_{0})^{2}]_{L_{B}}^{L_{A}} = - W_{A \to B} .

Dolayısıyla gidiş-dönüşte alınan iş sıfırdır. Tel depoladığı işi geri verir. Burada dayatılan yasa, işi $L$ 'nin bir fonksiyonu olan esneklik enerjisinin değişimine eşit kılar. Bu, histerezissiz bu modelin ve bu dönüşüm ailesinin bir özelliğidir; iş aktarımlarının genel bir özelliği değildir.