Çözümlü termodinamik alıştırması

Bağımsız değişkenleri saymak

Alıştırma 8 · Ders 3 — Temel Kavramlar

durum denklemi
serbestlik dereceleri
kısıtlar
durum koordinatları

Soru

Bir ideal gazın denge durumları, $P V = n R T$ ile birbirine bağlı dört pozitif $(P, V, T, n)$ değişkeniyle betimlenir. Erişilebilir durumlar kümesinin $d = q - r$ boyutu aranmaktadır; burada $q$ kullanılan değişken sayısı, $r$ ise bağımsız bağıntı sayısıdır.

$n$ değişebildiğinde $q$ , $r$ ve $d$ 'yi belirleyin. Üç bağımsız koordinat önerin ve dördüncü değişkeni ifade edin.
Sayımı önce sabit bir madde miktarı $n = n_{0}$ için, ardından ayrıca $T = T_{0}$ dayatıldığında ve son olarak $V = V_{0}$ dayatıldığında yineleyin. Her adımda erişilebilir durumlar için bir koordinat seçimi verin.
Bir öğrenci $P V = n R T$ bağıntısına $P = n R T / V$ bağıntısını ekliyor ve iki durum denklemi sayıyor. Öğrencinin hatasını açıklayın.
Madde miktarları $n_{1}, n_{2}$ sabit olan iki ideal gaz, toplam hacmi $V_{tot}$ olan bir kabın bölmelerini doldurmaktadır. Gazlar, sürtünmesiz hareket eden ve dış kuvvet etkisinde olmayan diyatermik bir pistonla birbirinden ayrılmıştır. Ortak sıcaklık sabitlenmemiştir. Dengede $(P_{1}, V_{1}, T_{1}, P_{2}, V_{2}, T_{2})$ arasındaki bağımsız bağıntıları sayın. Hacimleri ve ortak basıncı geriye kalan bir koordinat cinsinden ifade edin.

İpucu

2. sorudaki üç sayım için başlangıçtaki dört değişkeni koruyun ve her adımda bir kısıt ekleyin. Piston için iki durum denklemini, toplam hacmi, ısıl dengeyi ve mekanik dengeyi kullanın.

Ayrıntılı çözüm

Çözüm

Soru 1.

q = 4

değişken ve bir bağımsız bağıntı kullanılır; yani

r = 1

d = 3

'tür.

(V, T, n)

seçilebilir: bu durumda kalan değişken

P = n R T / V

olur.

V > 0

koşulu bu bölmeyi mümkün kılar. Soru 2. Kapalı gaz için bağıntılar

P V = n R T

n = n_{0}

'dır; dolayısıyla

r = 2

d = 4 - 2 = 2

'dir.

(V, T)

ikilisi uygundur ve

P = n_{0} R T / V

olur.

n

en baştan değişkenler listesinden çıkarılsaydı da

q = 3

r = 1

ve dolayısıyla yine

d = 2

elde edilirdi. Ek

T = T_{0}

kısıtı

r

'yi

3

'e çıkarır ve

d = 1

verir. Durumları parametrelemek için

V

hacmi yeterlidir, çünkü

P = n_{0} R T_{0} / V

'dir. Son olarak

V = V_{0}

dayatılması

r

'yi

4

'e çıkarır ve

d = 0

verir:

P = n_{0} R T_{0} / V_{0}

olan tek bir durum kalır. Bu son küme hiçbir serbest koordinat gerektirmez. Bu kısıtlar erişilebilir kümeyi küçültür; gazı kısıtsız betimlemek için gereken değişken sayısını ise küçültmez. Soru 3.

V > 0

olduğundan ikinci yazım, birincinin

V

'ye bölünmesiyle elde edilir. Birini sağlayan her durum diğerini de kendiliğinden sağlar. Dolayısıyla ikinci bağıntı ek bir durumu dışlamaz ve

r

'yi artırmaz. Denklem satırları değil, bağımsız kısıtlar sayılmalıdır. Soru 4. Altı değişken şu beş bağıntıyı sağlar:

P_{1} V_{1} = n_{1} R T_{1}, P_{2} V_{2} = n_{2} R T_{2}, V_{1} + V_{2} = V_{tot}, T_{1} = T_{2}, P_{1} = P_{2} .

$T = T_{1} = T_{2}$ ve $P = P_{1} = P_{2}$ diyelim. Durum denklemleri toplanırsa

P (V_{1} + V_{2}) = (n_{1} + n_{2}) R T, P = \frac{( n _{1} + n _{2} ) R T}{V _{tot}}

elde edilir. Bu sonuç her bir durum denkleminde yerine konursa

V_{1} = \frac{n _{1} R T}{P} = \frac{n _{1}}{n _{1} + n _{2}} V_{tot}, V_{2} = \frac{n _{2} R T}{P} = \frac{n _{2}}{n _{1} + n _{2}} V_{tot}

bulunur. $R T$ çarpanı hacimlerde sadeleşir, fakat basınçta sadeleşmez. $T > 0$ sıcaklığı serbest kalır ve diğer bütün değişkenleri belirler: beş bağıntı gerçekten bağımsızdır ve $d = 6 - 5 = 1$ 'dir. Ek bir enerji bilgisi belirli bir durumu seçebilirdi; ancak burada böyle bir bilgi dayatılmamıştır.