Bir miktar suyun ısıtılması: bir, iki, sonra $N$ ısıl rezervuar

Soru 1. Şema başlangıçta $T_i$ sıcaklığındaki suyu, $T_f$ sıcaklığındaki rezervuarı ve rezervuardan suya yönelen ısı okunu gösterir. Bir sınır yalıtılmış $S+\text{çevre}$ bütününü çevreler. Su iş almadan $T_f$ sıcaklığına ulaşır; birinci ilke şunu verir:

$$Q_{\mathrm{water}}=\Delta U_{\mathrm{water}}=mc(T_f-T_i)>0.$$

Su—rezervuar bütünü yalıtılmıştır: toplam enerjisi korunur,

$$\Delta U_{\mathrm{water}}+\Delta U_{\mathrm{th}}=0.$$

İki cisim de iş alışverişi yapmadığından,

$$Q_{\mathrm{water}}+Q_{\mathrm{th}}=0,\qquad Q_{\mathrm{th}}=-Q_{\mathrm{water}}=-mc(T_f-T_i)<0.$$

Rezervuarın aldığı ısı negatiftir: suya enerji verir.

Soru 2. $T_i$ ile $T_f$ arasındaki tersinir bir yolda su $\delta Q_{\mathrm{rev}}=mc\,\mathrm dT$ alır. Entropi değişimi şöyledir:

$$\Delta S_{\mathrm{water}}=mc\int_{T_i}^{T_f}\frac{\mathrm dT}{T} =mc[\ln T]_{T_i}^{T_f}=mc\ln\frac{T_f}{T_i}>0.$$

Rezervuar $T_f$ sıcaklığında kaldığından,

$$\Delta S_{\mathrm{th}}=\frac{Q_{\mathrm{th}}}{T_f} =-mc\frac{T_f-T_i}{T_f}<0.$$

Bütün yalıtılmış olduğundan evrenin geri kalanıyla entropi alışverişi yapmaz. Entropi değişiminin tamamı üretilmiştir:

$$\Delta S_{\mathrm{tot}}^{(1)} =\Delta S_{\mathrm{water}}+\Delta S_{\mathrm{th}} =mc\left[\ln\frac{T_f}{T_i}-\frac{T_f-T_i}{T_f}\right]>0.$$

Gerçekten, $T_i\leq T<T_f$ için $1/T>1/T_f$, dolayısıyla $\int_{T_i}^{T_f}\mathrm dT/T>(T_f-T_i)/T_f$. Farklı sıcaklıklardaki iki cisim arasındaki ısı aktarımı tersinmezdir.

Soru 3. $h=(T_f-T_i)/2$ tanımlayalım; böylece $T_m-T_i=T_f-T_m=h$. Su iki aşamanın her birinde $mc h$ alır. Bütünün yalıtılmış olması rezervuarlar için şunu verir:

$$Q_{\mathrm{th},1}=-mc h,\qquad Q_{\mathrm{th},2}=-mc h,$$

ve dolayısıyla

$$\Delta S_{\mathrm{th},1}=-\frac{mc h}{T_m},\qquad \Delta S_{\mathrm{th},2}=-\frac{mc h}{T_f}.$$

Su için iki aşamanın değişimlerini toplayalım:

$$\begin{aligned} \Delta S_{\mathrm{water}} &=mc\ln\frac{T_m}{T_i}+mc\ln\frac{T_f}{T_m}\\ &=mc\bigl[(\ln T_m-\ln T_i)+(\ln T_f-\ln T_m)\bigr]\\ &=mc\ln\frac{T_f}{T_i}. \end{aligned}$$

Ara terimler yok olur. Suyun entropi değişimi tek rezervuarlı durumla tam aynıdır: entropi bir durum fonksiyonudur ve iki deneyde suyun başlangıç ve son durumları aynıdır. Yalnızca izlenen yol değişir. Yalıtılmış bütün için,

$$\Delta S_{\mathrm{tot}}^{(2)} =mc\left[\ln\frac{T_f}{T_i}-h\left(\frac1{T_m}+\frac1{T_f}\right)\right].$$

İki bilanço arasındaki fark şöyledir:

$$\Delta S_{\mathrm{tot}}^{(1)}-\Delta S_{\mathrm{tot}}^{(2)} =mc h\left(\frac1{T_m}-\frac1{T_f}\right)>0.$$

Her temas hâlâ entropi üretir, fakat ara aşama toplam üretilen entropiyi azaltır.

Soru 4. $T_0=T_i$ ve $T_N=T_f$ tanımlayalım. $k$ aşamasında su $T_{k-1}$ sıcaklığından $T_k$ sıcaklığına geçer ve $mc h$ alır. İlgili rezervuar $T_k$ sıcaklığında kalır ve aldığı ısı

$$Q_{\mathrm{th},k}=-mc h,\qquad \Delta S_{\mathrm{th},k}=-\frac{mc h}{T_k}.$$

Su için toplam yine teleskopiktir:

$$\begin{aligned} \Delta S_{\mathrm{water}} &=mc\sum_{k=1}^{N}\ln\frac{T_k}{T_{k-1}}\\ &=mc\left[\ln\frac{T_1}{T_0}+\ln\frac{T_2}{T_1} +\cdots+\ln\frac{T_N}{T_{N-1}}\right]\\ &=mc\ln\left(\frac{T_1}{T_0}\frac{T_2}{T_1} \cdots\frac{T_N}{T_{N-1}}\right)\\ &=mc\ln\frac{T_N}{T_0} =mc\ln\frac{T_f}{T_i}. \end{aligned}$$

Her ara sıcaklık payda ve paydada birer kez görünür. Bu nedenle rezervuar sayısını artırmak, aynı uç durumlar için suyun entropi değişimini yine değiştirmez. Buna karşılık rezervuarların kaybettiği entropi $N$ değerine bağlıdır:

$$\Delta S_{\mathrm{th}}^{(N)}=-mc\,h\sum_{k=1}^{N}\frac1{T_k},\qquad \Delta S_{\mathrm{tot}}^{(N)} =mc\left[\ln\frac{T_f}{T_i}-h\sum_{k=1}^{N}\frac1{T_k}\right].$$

$N\to\infty$ iken $h\to0$ olur ve Riemann toplamı şu limite gider:

$$h\sum_{k=1}^{N}\frac1{T_k} \longrightarrow\int_{T_i}^{T_f}\frac{\mathrm dT}{T} =\ln\frac{T_f}{T_i}.$$

Böylece yalıtılmış bütünde üretilen entropi şu limite gider:

$$\lim_{N\to\infty}\Delta S_{\mathrm{tot}}^{(N)} =mc\left[\ln\frac{T_f}{T_i}-\ln\frac{T_f}{T_i}\right]=0.$$

Su daima aynı entropiyi kazanırken rezervuarlar limitte tam o kadarını kaybeder. Tersinir ısıtma, sonsuz küçük sıcaklık farkıyla istenildiği kadar yavaş kurulan temasların ideal limitidir.