Bir gazın entropisi: ısı kapasitesi $T$'ye bağlıysa

Soru 1. Isı kapasitesi molardır: $n$ mol için toplam kapasite $nc_V(T)$ olur. $U$ yalnızca $T$ değerine bağlı olduğundan,

$$\mathrm dU=nc_V(T)\,\mathrm dT=n(A+BT)\,\mathrm dT.$$

İntegral değişkeni olarak $\tau$ kullanıp $T_{\mathrm{ref}}$ ile $T$ arasında integre edelim:

$$\begin{aligned} U(T)-U_{\mathrm{ref}} &=n\int_{T_{\mathrm{ref}}}^{T}(A+B\tau)\,\mathrm d\tau\\ &=n\left[A\tau+\frac B2\tau^2\right]_{T_{\mathrm{ref}}}^{T}\\ &=nA(T-T_{\mathrm{ref}})+\frac{nB}{2}(T^2-T_{\mathrm{ref}}^2). \end{aligned}$$

$U_{\mathrm{ref}}$ eklenince $U(T)$ bulunur. $\Delta U=U(T_f)-U(T_i)$ hesaplanırken referans terimleri yok olur:

$$\boxed{\Delta U=nA(T_f-T_i)+\frac{nB}{2}(T_f^2-T_i^2).}$$

$\Delta U=nc_V(T_f)(T_f-T_i)$ yazamayız: ısı kapasitesi ısıtma sırasında değişir ve integralin içinde kalmalıdır.

Soru 2. Yerel olarak tersinir süreçte alınan iş $\delta W=-P\,\mathrm dV$ olur. Birinci ilke şunu verir:

$$\mathrm dU=\delta Q_{\mathrm{rev}}-P\,\mathrm dV, \qquad \delta Q_{\mathrm{rev}}=\mathrm dU+P\,\mathrm dV.$$

$\mathrm dU$ yerine önceki sonucu, $P$ yerine $nRT/V$ koyalım:

$$\delta Q_{\mathrm{rev}}=n(A+BT)\,\mathrm dT+\frac{nRT}{V}\,\mathrm dV.$$

Yerel tersinirlik $\mathrm dS=\delta Q_{\mathrm{rev}}/T$ yazmayı sağlar. Her terimi $T$ değerine bölünce,

$$\boxed{\mathrm dS=n\left(\frac AT+B\right)\mathrm dT +\frac{nR}{V}\,\mathrm dV.}$$

Soru 3. $(T_i,V_i)$ durumundan $(T_f,V_i)$ durumuna sabit hacimde, sonra $(T_f,V_i)$ durumundan $(T_f,V_f)$ durumuna sabit sıcaklıkta tersinir bir yol seçelim. İlk aşamada $\mathrm dV=0$, ikincide $\mathrm dT=0$. İki entropi değişimi toplanınca,

$$\begin{aligned} \Delta S &=n\int_{T_i}^{T_f}\left(\frac AT+B\right)\mathrm dT +nR\int_{V_i}^{V_f}\frac{\mathrm dV}{V}\\ &=nA\left[\ln T\right]_{T_i}^{T_f} +nB\left[T\right]_{T_i}^{T_f} +nR\left[\ln V\right]_{V_i}^{V_f}\\ &=nA(\ln T_f-\ln T_i)+nB(T_f-T_i) +nR(\ln V_f-\ln V_i). \end{aligned}$$

$\ln a-\ln b=\ln(a/b)$ kullanılarak,

$$\boxed{\Delta S=nA\ln\frac{T_f}{T_i}+nB(T_f-T_i) +nR\ln\frac{V_f}{V_i}.}$$

Entropi bir durum fonksiyonudur: değişimi yalnızca başlangıç ve son durumlara bağlıdır. Tersinir yol bu değişimi hesaplamak içindir; sonuç aynı durumlar arasındaki gerçek tersinmez süreç için de geçerlidir.

Soru 4. Hacim sabittir: gaz iş almaz. Dolayısıyla birinci ilke ve soru 1 şunu verir:

$$Q_{\mathrm{gas}}=\Delta U =nA(T_f-T_i)+\frac{nB}{2}(T_f^2-T_i^2).$$

Gaz—rezervuar bütünü yalıtılmıştır, dolayısıyla $\Delta U_{\mathrm{gas}}+\Delta U_{\mathrm{th}}=0$. İş alışverişi olmadığından $Q_{\mathrm{th}}=-Q_{\mathrm{gas}}$ elde edilir. Gaz için $V_f=V_i$, soru 3'teki hacim terimini sıfırlar:

$$\Delta S_{\mathrm{gas}}=nA\ln\frac{T_f}{T_i}+nB(T_f-T_i).$$

Rezervuar $T_f$ sıcaklığında kalır; dolayısıyla,

$$\Delta S_{\mathrm{th}}=\frac{Q_{\mathrm{th}}}{T_f} =-\frac{Q_{\mathrm{gas}}}{T_f}.$$

Yalıtılmış bütün evrenin geri kalanıyla entropi alışverişi yapmaz: üretilen entropi iki değişimin toplamıdır,

$$\begin{aligned} S_{\mathrm{i}} &=\Delta S_{\mathrm{gas}}+\Delta S_{\mathrm{th}}\\ &=nA\ln\frac{T_f}{T_i}+nB(T_f-T_i)\\ &\quad-\frac{nA(T_f-T_i)}{T_f}-\frac{nB(T_f^2-T_i^2)}{2T_f}. \end{aligned}$$

İşareti belirlemek için iki terimin integral ifadelerine dönelim:

$$\Delta S_{\mathrm{gas}}=n\int_{T_i}^{T_f}\frac{A+BT}{T}\,\mathrm dT, \qquad \frac{Q_{\mathrm{gas}}}{T_f} =n\int_{T_i}^{T_f}\frac{A+BT}{T_f}\,\mathrm dT.$$

Sınırlar aynı olduğundan integrandlar çıkarılabilir:

$$S_{\mathrm{i}}=n\int_{T_i}^{T_f}(A+BT) \left(\frac1T-\frac1{T_f}\right)\mathrm dT>0.$$

Gerçekten, $T_i\leq T<T_f$ için $A+BT>0$ ve $1/T-1/T_f>0$. Böylece $T_f>T_i$ olduğunda integral kesinlikle pozitiftir: bu rezervuarla temas ederek ısıtma tersinmezdir.