Çözümlü termodinamik alıştırması

Aday temel bağıntıları ayıklamak

Alıştırma 34 · Ders 7 — Matematiksel Yapı: Temel Bağıntılar

temel bağıntı
ekstensiflik
homojen fonksiyon
pozitif sıcaklık
durum denklemleri
tersinir adyabatik
Euler bağıntısı

Soru

Parçacık sayısı $N$ değişken olan basit bir sistem için üç temel bağıntı öneriliyor. Her birinde $a > 0$ ve $b > 0$ sabitlerdir; $U > 0$ , $V > 0$ , $N > 0$ ve $S \geq 0$ alınır:

(1) S = a N U V, (2) S = b \frac{N ^{3}}{U V}, (3) U = a \frac{S ^{4}}{N V ^{2}} .

Kabul edilebilir bir temel bağıntı ekstensif, yani ekstensif değişkenlerine göre birinci dereceden homojen olmalı ve pozitif bir sıcaklığa götürmelidir.

Üç bağıntının her birinin ekstensifliğini, ardından öngördükleri sıcaklığın işaretini inceleyin. Yalnızca birinin kabul edilebilir olduğunu gösterin.
Kabul edilebilir bağıntı için $T$ , $P$ ve $μ$ 'yü $S$ , $V$ ve $N$ cinsinden veren üç durum denklemini kurun. Bu üç büyüklüğün intensif olduğunu, ardından $U = T S - P V + μ N$ Euler bağıntısını doğrulayın.
Sıcaklığın pozitif olduğunu doğrulayın. Buradan $U$ 'nun $S$ 'nin artan bir fonksiyonu olduğunu ve bağıntının bir $S (U, V, N)$ bağıntısına çevrilebileceğini çıkarın. $S$ sıfıra giderken sıcaklık nedir?
Yalnızca $P$ , $V$ , $T$ ve $N$ 'yi içeren bir durum denklemi kurun.
$N$ sabitken, $(P, V)$ diyagramında tersinir adyabatların denklemini belirleyin.

İpucu

Ekstensiflik için

(U, V, N)

ya da

(S, V, N)

yerine

(λ U, λV, λ N)

ya da

(λ S, λV, λ N)

koyun ve elde edilen

λ

kuvvetini arayın. Enerji gösteriminde

T = (\partial U / \partial S)_{V, N}

P = - (\partial U / \partial V)_{S, N}

μ = (\partial U / \partial N)_{S, V}

'dir. Tersinir bir adyabat, sabit entropili bir dönüşümdür.

Ayrıntılı çözüm

Çözüm

Soru 1. Bütün ekstensif değişkenleri

λ > 0

ile çarpalım. (1) bağıntısı için

a (λ N) (λ U) (λV) = a λ^{3} N U V = λ^{3/2} a N U V .

Bu bağıntı birinci dereceden değil, $3/2$ derecesinden homojendir: sistemin boyutunu iki katına çıkarmak entropisini $2^{3/2} \approx 2, 8$ ile çarpardı. Ekstensif değildir ve reddedilmelidir.

(2) bağıntısı için

b \frac{( λ N ) ^{3}}{( λ U ) ( λV )} = b \frac{λ ^{3} N ^{3}}{λ ^{2} U V} = λ b \frac{N ^{3}}{U V} .

Gerçekten ekstensiftir. Ama $U$ 'ya göre türevi

\frac{1}{T} = (\frac{\partial S}{\partial U})_{V, N} = - b \frac{N ^{3}}{U ^{2} V} < 0

olur; bu da negatif bir sıcaklık verirdi. O da reddedilmelidir.

(3) bağıntısı için

a \frac{( λ S ) ^{4}}{( λ N ) ( λV ) ^{2}} = a \frac{λ ^{4} S ^{4}}{λ ^{3} N V ^{2}} = λ a \frac{S ^{4}}{N V ^{2}} .

Ekstensiftir. Sıcaklığının pozitif olduğunu 3. soruda doğrulayacağız: kabul edilebilir tek bağıntı budur.

Soru 2.

U = a S^{4} N^{- 1} V^{- 2}

'nin, diğer ikisi sabit tutularak her değişkene göre türevini alalım:

T = (\frac{\partial U}{\partial S})_{V, N} = \frac{4 a S ^{3}}{N V ^{2}}, P = - (\frac{\partial U}{\partial V})_{S, N} = - a \frac{S ^{4}}{N} \cdot (- 2) V^{- 3} = \frac{2 a S ^{4}}{N V ^{3}}, μ = (\frac{\partial U}{\partial N})_{S, V} = a \frac{S ^{4}}{V ^{2}} \cdot (- 1) N^{- 2} = - \frac{a S ^{4}}{N ^{2} V ^{2}} .

$S$ , $V$ ve $N$ 'yi $λ$ ile çarpalım. $T$ 'nin payı da paydası da bir $λ^{3}$ çarpanı kazanır: $T$ değişmez. $P$ için $λ^{4} / λ^{1 + 3} = 1$ , $μ$ için $λ^{4} / λ^{2 + 2} = 1$ elde edilir. Dolayısıyla üç büyüklük de intensiftir.

U = a S^{4} / (N V^{2})

ile karşılaştırınca şunlar tanınır:

T S = \frac{4 a S ^{4}}{N V ^{2}} = 4 U, P V = \frac{2 a S ^{4}}{N V ^{2}} = 2 U, μ N = - \frac{a S ^{4}}{N V ^{2}} = - U,

buradan $T S - P V + μ N = 4 U - 2 U - U = U$ : Euler bağıntısı doğrulanır.

Soru 3.

a > 0

N > 0

V^{2} > 0

S \geq 0

olduğundan

T = 4 a S^{3} / (N V^{2}) \geq 0

'dır; eşitlik yalnızca

S = 0

için sağlanır.

S > 0

için

(\partial U / \partial S)_{V, N} = T

türevi kesinlikle pozitiftir:

V

N

sabitken

U

S

'nin kesin artan bir fonksiyonudur. Dolayısıyla tersine çevrilebilir.

1/4

kuvvetine yükselterek

S (U, V, N) = (\frac{N V ^{2} U}{a})^{1/4} .

$S$ sıfıra giderken $T = 4 a S^{3} / (N V^{2})$ de sıfıra gider: ileride göreceğimiz üçüncü yasanın gerektirdiği gibi, entropi sıfır sıcaklıkta sıfırlanır.

Soru 4.

T

P

ifadeleri arasında

S

'yi yok etmek gerekir.

T

ifadesi şunu verir:

S^{3} = \frac{T N V ^{2}}{4 a} ⟹ S = (\frac{T N V ^{2}}{4 a})^{1/3} .

$S^{4} = S \cdot S^{3}$ olduğundan $P$ 'de yerine koyalım:

P = \frac{2 a}{N V ^{3}} S^{4} = \frac{2 a}{N V ^{3}} \cdot \frac{T N V ^{2}}{4 a} \cdot S = \frac{T}{2 V} (\frac{T N V ^{2}}{4 a})^{1/3} .

Kökü ortadan kaldırmak için küpünü alalım:

P^{3} = \frac{T ^{3}}{8 V ^{3}} \cdot \frac{T N V ^{2}}{4 a} = \frac{N T ^{4}}{32 aV}, yani 32 a P^{3} V = N T^{4} .

Bu, bu sistem için ideal gazın $P V = N k_{B} T$ denkleminin karşılığıdır.

Soru 5. Tersinir bir adyabat boyunca entropi sabittir ve

N

da sabittir. Dolayısıyla

P = \frac{2 a S ^{4}}{N} \cdot \frac{1}{V ^{3}}

ifadesinde $2 a S^{4} / N$ çarpanı sabittir; buradan

P V^{3} = const .

$(P, V)$ diyagramında tersinir adyabatlar $P \propto V^{- 3}$ eğrileridir; bunlar tek atomlu ideal gazın $P \propto V^{- 5/3}$ adyabatlarından daha diktir.