Çözümlü termodinamik alıştırması

Bir diferansiyel formu bir yol boyunca tümlemek

Alıştırma 6 · Ders 4 — Termodinamiğin Birinci Yasası

  • diferansiyel form
  • tam diferansiyel
  • Schwarz ölçütü
  • çizgi integrali

Çalışma sürümü — bu alıştırma hâlâ inceleniyor.

Soru

Şu iki diferansiyel formu ele alalım:

ω1=y dx+x dy,ω2=y dx,\omega_1 = y\,\mathrm{d}x + x\,\mathrm{d}y, \qquad \omega_2 = y\,\mathrm{d}x,

Ayrıca başlangıç noktası O(0,0)O(0,0) ile M(1,1)M(1,1) noktasını birleştiren üç yol tanımlayalım: γ1\gamma_1, yatay O→(1,0)O\to(1,0) parçasının ardından dikey (1,0)→M(1,0)\to M parçasından; γ2\gamma_2, dikey O→(0,1)O\to(0,1) parçasının ardından yatay (0,1)→M(0,1)\to M parçasından oluşsun; γ3\gamma_3 ise OO ile MM'yi doğrudan birleştiren doğru parçası olsun.

  1. ω1=df\omega_1=\mathrm{d}f olacak biçimde bir ff fonksiyonu bularak ω1\omega_1'in tam olduğunu gösterin.
  2. Her parçayı parametreleyerek ∫γ1ω1\int_{\gamma_1}\omega_1 ve ∫γ2ω1\int_{\gamma_2}\omega_1 integrallerini hesaplayın. Sonucu hesap yapmadan yeniden elde edin.
  3. Schwarz ölçütünü ω2\omega_2'ye uygulayın. Ne sonuç çıkarılabilir?
  4. ∫γ1ω2\int_{\gamma_1}\omega_2, ∫γ2ω2\int_{\gamma_2}\omega_2 ve ∫γ3ω2\int_{\gamma_3}\omega_2 integrallerini hesaplayıp yorumlayın.

İpucu
Yatay bir parçada dy=0\mathrm{d}y=0, dikey bir parçada dx=0\mathrm{d}x=0'dır; dolayısıyla her integral basit bir integrale indirgenir.

Ayrıntılı çözüm

Çözüm
Soru 1. ∂f/∂x=y\partial f/\partial x=y ve ∂f/∂y=x\partial f/\partial y=x olduğundan f(x,y)=xyf(x,y)=xy uygundur.

Soru 2. t↦(x(t),y(t))t\mapsto\bigl(x(t),y(t)\bigr) ile parametrelenmiş bir eğri için

∫γω1=∫[y(t)x′(t)+x(t)y′(t)] dt.\int_\gamma\omega_1 = \int \left[y(t)x'(t)+x(t)y'(t)\right]\,\mathrm{d}t.

γ1\gamma_1 yolu iki parçanın birleşimidir. İlk parçada t∈[0,1]t\in[0,1] için x(t)=tx(t)=t, y(t)=0y(t)=0; dolayısıyla dx=dt\mathrm{d}x=\mathrm{d}t ve dy=0\mathrm{d}y=0'dır. İkinci parçada yine t∈[0,1]t\in[0,1] için x(t)=1x(t)=1, y(t)=ty(t)=t; dolayısıyla dx=0\mathrm{d}x=0 ve dy=dt\mathrm{d}y=\mathrm{d}t'dır. Böylece

I1=∫γ1ω1=∫01(0×1+t×0) dt+∫01(t×0+1×1) dt=0+∫01dt=1.\begin{aligned} I_1 = \int_{\gamma_1}\omega_1 &= \int_0^1\left(0\times 1+t\times 0\right)\,\mathrm{d}t + \int_0^1\left(t\times 0+1\times 1\right)\,\mathrm{d}t \\ &= 0+\int_0^1\mathrm{d}t = 1. \end{aligned}

γ2\gamma_2 için ilk parça x(t)=0x(t)=0, y(t)=ty(t)=t, ikinci parça ise x(t)=tx(t)=t, y(t)=1y(t)=1 ile parametrelenir; her iki durumda da t∈[0,1]t\in[0,1]'dir. Bu nedenle

I2=∫γ2ω1=∫01(t×0+0×1) dt+∫01(1×1+t×0) dt=0+∫01dt=1.\begin{aligned} I_2 = \int_{\gamma_2}\omega_1 &= \int_0^1\left(t\times 0+0\times 1\right)\,\mathrm{d}t + \int_0^1\left(1\times 1+t\times 0\right)\,\mathrm{d}t \\ &= 0+\int_0^1\mathrm{d}t = 1. \end{aligned}

İki değer aynıdır. Bu sonuç hesap yapmadan da öngörülebilirdi: f(x,y)=xyf(x,y)=xy olmak üzere ω1=df\omega_1=\mathrm{d}f olduğundan integral yalnız uç noktalara bağlıdır:

∫γω1=f(M)−f(O)=f(1,1)−f(0,0)=1.\int_\gamma\omega_1=f(M)-f(O)=f(1,1)-f(0,0)=1.

Soru 3. ω2=A(x,y) dx+B(x,y) dy\omega_2=A(x,y)\,\mathrm{d}x+B(x,y)\,\mathrm{d}y yazalım. Burada A(x,y)=yA(x,y)=y ve B(x,y)=0B(x,y)=0'dır. Form tam olsaydı Schwarz ölçütü

∂A∂y=∂B∂x.\frac{\partial A}{\partial y}=\frac{\partial B}{\partial x}.

eşitliğini verirdi. Oysa ∂A/∂y=1\partial A/\partial y=1, buna karşılık ∂B/∂x=0\partial B/\partial x=0'dır. Çapraz türevler farklı olduğundan ω2\omega_2 tam değildir. Bu nedenle integrali OO ile MM arasında izlenen yola bağlı olabilir; aşağıdaki hesap bunu doğrular.

Soru 4. ω2=y dx\omega_2=y\,\mathrm{d}x olduğundan integrale yalnızca yy sıfırdan farklıyken gerçekleşen bir xx değişimi katkıda bulunabilir. Önceki parametrelemelerle γ1\gamma_1 üzerinde

J1=∫γ1ω2=∫010×1 dt+∫01t×0 dt=0.\begin{aligned} J_1 =\int_{\gamma_1}\omega_2 &=\int_0^1 0\times 1\,\mathrm{d}t +\int_0^1 t\times 0\,\mathrm{d}t \\ &=0. \end{aligned}

γ2\gamma_2'nin ilk parçasında x(t)=0x(t)=0, dolayısıyla dx=0\mathrm{d}x=0; ikinci parçasında x(t)=tx(t)=t, y(t)=1y(t)=1 ve dx=dt\mathrm{d}x=\mathrm{d}t'dır. Böylece

J2=∫γ2ω2=∫01t×0 dt+∫011×1 dt=1.\begin{aligned} J_2 =\int_{\gamma_2}\omega_2 &=\int_0^1 t\times 0\,\mathrm{d}t +\int_0^1 1\times 1\,\mathrm{d}t \\ &=1. \end{aligned}

Son olarak köşegen γ3\gamma_3 açıkça

x(t)=t,y(t)=t,t∈[0,1],x(t)=t,\qquad y(t)=t,\qquad t\in[0,1],

ile parametrelenir; buradan dx=dt\mathrm{d}x=\mathrm{d}t ve dy=dt\mathrm{d}y=\mathrm{d}t olur. Sonuç

J3=∫γ3ω2=∫01y(t)x′(t) dt=∫01t dt=12.J_3 =\int_{\gamma_3}\omega_2 =\int_0^1 y(t)x'(t)\,\mathrm{d}t =\int_0^1 t\,\mathrm{d}t =\frac12.

Üç yol aynı uç noktalara sahipken üç farklı değer verir: J1=0J_1=0, J2=1J_2=1 ve J3=1/2J_3=1/2. Bu, tam olmayan bir diferansiyel formun ayırt edici yol bağımlılığıdır.