Bir diferansiyel formu bir yol boyunca tümlemek

Soru 1. $\partial f/\partial x=y$ ve $\partial f/\partial y=x$ olduğundan $f(x,y)=xy$ uygundur. Soru 2. $t\mapsto\bigl(x(t),y(t)\bigr)$ ile parametrelenmiş bir eğri için

$$\int_\gamma\omega_1 = \int \left[y(t)x'(t)+x(t)y'(t)\right]\,\mathrm{d}t.$$

$\gamma_1$ yolu iki parçanın birleşimidir. İlk parçada $t\in[0,1]$ için $x(t)=t$, $y(t)=0$; dolayısıyla $\mathrm{d}x=\mathrm{d}t$ ve $\mathrm{d}y=0$'dır. İkinci parçada yine $t\in[0,1]$ için $x(t)=1$, $y(t)=t$; dolayısıyla $\mathrm{d}x=0$ ve $\mathrm{d}y=\mathrm{d}t$'dır. Böylece

$$\begin{aligned} I_1 = \int_{\gamma_1}\omega_1 &= \int_0^1\left(0\times 1+t\times 0\right)\,\mathrm{d}t + \int_0^1\left(t\times 0+1\times 1\right)\,\mathrm{d}t \\ &= 0+\int_0^1\mathrm{d}t = 1. \end{aligned}$$

$\gamma_2$ için ilk parça $x(t)=0$, $y(t)=t$, ikinci parça ise $x(t)=t$, $y(t)=1$ ile parametrelenir; her iki durumda da $t\in[0,1]$'dir. Bu nedenle

$$\begin{aligned} I_2 = \int_{\gamma_2}\omega_1 &= \int_0^1\left(t\times 0+0\times 1\right)\,\mathrm{d}t + \int_0^1\left(1\times 1+t\times 0\right)\,\mathrm{d}t \\ &= 0+\int_0^1\mathrm{d}t = 1. \end{aligned}$$

İki değer aynıdır. Bu sonuç hesap yapmadan da öngörülebilirdi: $f(x,y)=xy$ olmak üzere $\omega_1=\mathrm{d}f$ olduğundan integral yalnız uç noktalara bağlıdır:

$$\int_\gamma\omega_1=f(M)-f(O)=f(1,1)-f(0,0)=1.$$

Soru 3. $\omega_2=A(x,y)\,\mathrm{d}x+B(x,y)\,\mathrm{d}y$ yazalım. Burada $A(x,y)=y$ ve $B(x,y)=0$'dır. Form tam olsaydı Schwarz ölçütü

$$\frac{\partial A}{\partial y}=\frac{\partial B}{\partial x}.$$

eşitliğini verirdi. Oysa $\partial A/\partial y=1$, buna karşılık $\partial B/\partial x=0$'dır. Çapraz türevler farklı olduğundan $\omega_2$ tam değildir. Bu nedenle integrali $O$ ile $M$ arasında izlenen yola bağlı olabilir; aşağıdaki hesap bunu doğrular.

Soru 4. $\omega_2=y\,\mathrm{d}x$ olduğundan integrale yalnızca $y$ sıfırdan farklıyken gerçekleşen bir $x$ değişimi katkıda bulunabilir. Önceki parametrelemelerle $\gamma_1$ üzerinde

$$\begin{aligned} J_1 =\int_{\gamma_1}\omega_2 &=\int_0^1 0\times 1\,\mathrm{d}t +\int_0^1 t\times 0\,\mathrm{d}t \\ &=0. \end{aligned}$$

$\gamma_2$'nin ilk parçasında $x(t)=0$, dolayısıyla $\mathrm{d}x=0$; ikinci parçasında $x(t)=t$, $y(t)=1$ ve $\mathrm{d}x=\mathrm{d}t$'dır. Böylece

$$\begin{aligned} J_2 =\int_{\gamma_2}\omega_2 &=\int_0^1 t\times 0\,\mathrm{d}t +\int_0^1 1\times 1\,\mathrm{d}t \\ &=1. \end{aligned}$$

Son olarak köşegen $\gamma_3$ açıkça

$$x(t)=t,\qquad y(t)=t,\qquad t\in[0,1],$$

ile parametrelenir; buradan $\mathrm{d}x=\mathrm{d}t$ ve $\mathrm{d}y=\mathrm{d}t$ olur. Sonuç

$$J_3 =\int_{\gamma_3}\omega_2 =\int_0^1 y(t)x'(t)\,\mathrm{d}t =\int_0^1 t\,\mathrm{d}t =\frac12.$$

Üç yol aynı uç noktalara sahipken üç farklı değer verir: $J_1=0$, $J_2=1$ ve $J_3=1/2$. Bu, tam olmayan bir diferansiyel formun ayırt edici yol bağımlılığıdır.