Çözümlü termodinamik alıştırması

Bir temel bağıntıyı okumak

Alıştırma 33 · Ders 7 — Matematiksel Yapı: Temel Bağıntılar

temel bağıntı
sıcaklık
basınç
kimyasal potansiyel
ekstensiflik
ideal gaz

Soru

Entropisi

S (U, V, n) = n s_{0} + n c_{V} ln (\frac{U}{n u _{0}}) + n R ln (\frac{V}{n v _{0}})

ile verilen $n$ mol gazı ele alalım; burada $s_{0}$ , $u_{0}$ , $v_{0}$ ve molar ısı kapasitesi $c_{V}$ pozitif sabitlerdir. Şunu hatırlatalım:

\frac{1}{T} = (\frac{\partial S}{\partial U})_{V, n}, \frac{P}{T} = (\frac{\partial S}{\partial V})_{U, n}, - \frac{μ}{T} = (\frac{\partial S}{\partial n})_{U, V} .

$S$ 'nin ekstensif olduğunu doğrudan doğrulayın.
$U = n c_{V} T$ ve $P V = n R T$ denklemlerini yeniden elde edin.
$μ$ 'yü hesaplayın ve $U = T S - P V + μ n$ Euler bağıntısını doğrulayın.
Yalnızca $P V = n R T$ bağıntısının, $(U, V, n)$ 'den sıcaklığı ve basıncı belirlemeye neden yetmediğini açıklayın.

İpucu

Ekstensiflik için

(U, V, n)

yerine

(λ U, λV, λn)

koyun.

n

'ye göre türev alırken

n

'nin hem logaritmaların önünde hem de paydalarında bulunduğunu unutmayın.

Ayrıntılı çözüm

Çözüm

λ > 0

için

S (λ U, λV, λn) = λn s_{0} + λn c_{V} ln (\frac{λ U}{λn u _{0}}) + λn R ln (\frac{λV}{λn v _{0}}) .

Logaritmaların içindeki $λ$ çarpanları sadeleşir. Geriye $S (λ U, λV, λn) = λ S (U, V, n)$ kalır: fonksiyon gerçekten birinci dereceden homojendir, dolayısıyla ekstensiftir.

V

n

sabitken

\frac{1}{T} = (\frac{\partial S}{\partial U})_{V, n} = n c_{V} \frac{1}{U},

buradan $U = n c_{V} T$ . Benzer biçimde

\frac{P}{T} = (\frac{\partial S}{\partial V})_{U, n} = n R \frac{1}{V} .

$T V$ ile çarparak $P V = n R T$ elde edilir.

U

V

sabitken

(\frac{\partial S}{\partial n})_{U, V} = s_{0} + c_{V} ln (\frac{U}{n u _{0}}) - c_{V} + R ln (\frac{V}{n v _{0}}) - R .

Böylece

μ = T [c_{V} + R - \frac{S}{n}] .

Oysa $U / n = c_{V} T$ ve $P V / n = R T$ 'dir. Dolayısıyla

T S - P V + μ n = T S - n R T + n T (c_{V} + R - \frac{S}{n}) = n c_{V} T = U .

4. $P V = n R T$ denklemi $P$ , $V$ ve $T$ 'yi birbirine bağlar, ama enerjinin sıcaklığa nasıl bağlı olduğunu söylemez. Eksik bilgiyi $U = n c_{V} T$ kalorik bağıntısı sağlar. Bir temel bağıntı bu iki durum denklemini aynı anda içerir ve ayrıca kimyasal potansiyeli de belirler.